Sul fondamento logico della matematica/Preliminari
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| Le due operazioni del pensare secondo la logica del potenziamento | ► |
Annibale Pastore
SUL FONDAMENTO LOGICO
DELLA MATEMATICA
| § 1. - Preliminari. |
La perfetta comprensione di quanto segue richiederebbe un discreto proemio atto a produrre un doppio effetto, cioè a disorientare gli spiriti dai quadri della logica tradizionale, quindi a orientarli verso i campi nuovi di ricerca e di meditazione della Logica del Potenziamento (LdP). Ma l’angustia del tempo non lo concede. Siamo quindi costretti a presupporre la conoscenza delle precedenti pubblicazioni nelle quali il rovesciamento della prima prospettiva logica è operato in pieno, e i principj che LdP esposti col massimo rigore spiegano e giustificano la nuova terminologia.
La presente Comunicazione d’altronde si collega organicamente alla Comunicazione dell’anno scorso al Congresso di Roma sopra La Logica del potenziamento nelle sue relazioni colla scienza e la filosofia. Giova sperare che ancora non sia spezzato il filo logico che valse allora a stabilire tanto fervido consenso.
Avvertenza - Nella comunicazione orale, per la strettezza del tempo, furono soppressi questi Preliminari e le note. La Comunicazione fu preceduta dalla dichiarazione seguente.
«Sarebbe stato mio grande piacere e conforto esporre questa Comunicazione avendo al fianco Pietro Mosso, il mio fedele discepolo e collaboratore che mi ha ajutato a comporla. Mosso è l’autore dei Principi di logica del potenziamento editi a Torino dall’Editore Bocca nel ’23, sotto la mia direzione; ed è la giovane forza della Scuola teoretica di Torino che prossimamente si arricchirà d’un Laboratorio di Logica pura e applicata e svolgerà un programma tecnico di intenso lavoro. Poichè le gravi cure della S. I. C. A. che egli dirige non gli hanno consentito di venire, mi sia lecito inviargli in memore saluto l’espressione della mia riconoscenza». La Comunicazione di Roma, nel suo punto di arrivo, dimostrava in generale che le equazioni fisico-matematiche sono casi particolari di equazioni logiche esprimenti relazioni d’invarianza (d’invarianza logica, s’intende) tra le forme fondamentali del pensiero secondo la LdP.
Rimaneva aperto, tra l’altro, il compito particolare di determinare il fondamento logico della matematica.
È questo il tema della Comunicazione presente. La quale però non vuole essere un’applicazione della logica alla matematica ma piuttosto una interpretazione logica dei processi fondamentali del calcolo. In sostanza vogliamo fare un’analisi logica dell’analisi matematica; ma avversando decisamente ogni scopo sia di riduzione sia di subordinazione della matematica alla logica.
Ciò premesso in generale, per giustificare la linea di condotta che naturalmente è determinata dagli scopi, basteranno alcuni richiami particolari per rinfrescare la memoria.
La nuova situazione della LdP non può essere compresa nè come dottrina in sè, nè rispetto alle scienze particolari e alla filosofia, se non si determina bene il suo assunto come logica generale.
È anzitutto notevole che di fronte a tutti i sistemi delle scienze particolari essa ha un compito nettamente extrasistematico e presistematico.
Suo problema è lo studio del processo di costruzione delle idee che entrano nei sistemi primitivi delle scienze particolari.
Questo problema notoriamente non fu posto dalla logica precedente a cominciare dalla logica analitica di Aristotele fino alla logica matematica di Peano.
La ragione è chiara. La logica classica tradizionale, eretto più o meno consciamente il suo sistema logico primitivo sui principj di identità, di non contraddizione, di terzo escluso (per la convenienza delle idee) e della ragion sufficiente (per la dipendenza) aveva proclamato: ἀνἀγχη στῆναι.
Noi siamo giunti a comprendere che la stessa logica classica, come quella che non assume il più largo carattere di generalità, almeno virtualmente si affianca alle scienze particolari avuto riguardo al processo di astrazione delle sue idee primitive.
La sua base ha la sua ragion d’essere in altro, come una scienza particolare qualunque. Non riesce a reggersi da sè sola. Circa la costituzione dei suoi enti logici in sistema primitivo è governata da un corpo logico presistematico, comune a tutte le scienze particolari che la LdP dichiara. In sostanza la sua base sistematica non è ciò a cui bisogna logicamente arrestarsi. È ciò che logicamente ancora può, anzi deve essere superato.
I principj della LdP tracciano con nettezza i limiti del fondamento logico presistematico, ipersistematico. Questi principj non sono dimostrabili, è vero; pure non sono arbitrarj.
V’ha quì una difficoltà che pare insuperabile. Ma non dobbiamo lasciarci ingannare dall’apparenza. La base della logica generale presistematica è sicura, benchè non si riferisca ad alcun presupposto; anzi appunto per questo. Resiste ad ogni tentativo di superamento, perchè consiste. Consiste perchè la logicità (cioè la logica generale), significando propriamente relatività, sia come attività produttrice di riferimento sia come riferimento, è essa stessa quella relazione in sè stessa oltre cui è impossibile andare.
La LdP, essendo teoria della relatività che ha la sua ragione nella relatività, non conosce altra giustificazione che sè medesima. Non ha la sua ragione in altro. Riesce a reggersi da sè sola. Senza presupposti. In questo senso essa è schiettamente autologica.
Ciò che ha reso la questione singolarmente oscura è questo: parve quasi fino a ieri necessario ammettere la perfezione della logica dipendente dall’assolutezza degli enti logici e loro rapporti. Così il principio classico d’identità fu posto alla base d’ogni costruzione sistematica, come assertore della permanenza, dell’eguaglianza e dell’invarianza assoluta degli enti logici in tutto il processo del discorso. Gli altri cosidetti principj logici furono interpretati analogamente.
Ma a questi principj, i quali partono e sfociano in perfetta tautologia, la LdP, premessa la tesi non aristotelica della risoluzione dell’ente logico in relazione che è il punctum saliens della nuova teoria, nettamente oppone i due principj veramente generali:
- 1) dell’individuazione o dell’identità distintiva;
- 2) della relazione o della variazione relativa.
Così si opera il passaggio dalla Logica dell’assolutezza alla Logica della relatività.
Per questa e in questa si identifica distintamente cioè si individua un termine differenziandolo dal suo universo, con affermare l’identità con sè. Posta l’identità distintiva, ogni relazione potenzia il termine del discorso (aspetto analitico, deduttivo) legandolo al suo universo (aspetto sintetico, intuitivo).
Per potenziamento logico in generale s’intenda il potere di relatività o di sviluppo relativo degli enti logici, precisamente il fatto analitico che varia la potenza dell’ente logico col variare del numero degli enti coi quali esso è in relazione, cioè delle relazioni che esso esprime, e che ad uno sviluppo analitico di potenze corrisponde uno sviluppo di enti logici.
È evidente che, porre la questione della logica sul piano della relatività o della variazione relativa precisamente col fermo proposito di giungere alla determinazione dell’identità distintiva cioè della individuazione, è un bel progetto. Il quale però dal punto di vista aristotelico sembra un appello all’impossibile. Posta la variazione, come individuare l’invarianza? Ebbene, il potenziamento è a punto ciò che permane negli enti, ciò che rimane di tipico nella variazione degli enti, l’invariante nella variazione degli enti. Questa questione fuori della LdP era invisibile. Anche nella logica matematica d’ogni tempo e scuola la negazione della proprietà tautologica era nettamente esclusa. Chiunque coraggiosamente si interessi alla grande causa del rinnovamento degli studj logici, coi principj della LdP alla mano, potrà facilmente decidere se la nostra soluzione sia puramente verbale, o effettiva e feconda.
Non è ora il caso di addentrarci nel problema degli esponenti in logica, nel teorema delle potenze, nel teorema del potenziamento e conseguenze derivanti, circa la teoria del Discorso e dell’Universo, e delle equazioni logiche, col seguito ormai vasto delle varie applicazioni concernenti anche i problemi fondamentali della Fisica teorica, che formarono oggetto di nostre trattazioni speciali.
Pare interessante concludere, circa lo spirito della nuova ricerca logica in questa direzione, che il nuovo problema logico del potenziamento non si può sotto nessun rispetto inquadrare nell’antico.
In questo senso siamo metaristotelici.
Per precisi ragguagli rimandiamo alle pubblicazioni apposite, segnatamente alle seguenti:
| Pastore, | Sulla natura extralogica delle leggi di tautologia e di assorbimento nella Logica matematica - In Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici - Roma, 1908, III, iv. |
| Mosso, | Principj di logica del potenziamento - Torino, Bocca, ’23. |
| Pastore, | La crisi della logica, Milano, ’26 - Torino, Atti Acc. Scienze, ’28. |
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Verso un nuovo Relativismo - Roma, Archivio di Filosofia, ’32. |
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Sul D. U. - Roma, Archivio di Filos. ’33. |
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Sulla intuizione logica secondo la LdP. - Roma, Arch. d. Fil. ’34. |
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La LdP nelle sue relazioni colla Scienza e la Filosofia, comunicazione al VIII Congresso Nazionale di Filos. - Roma, 1933. |
| Pastore, | Introduzione alla teoria delle equazioni logiche - Memorie della R. Accademia delle Scienze di Bologna, Classe di Scienze morali - Vol. 33, 1934. |
Passiamo senz’altro allo studio del fondamento logico della Matematica.