Sul fondamento logico della matematica/Esempio della coessenzialità delle operazioni D. U. tratto dalla geometria
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| § 6. - Esempio della coessenzialità |
| delle operazioni D. U. tratto dalla geometria. |
Un esempio della coessenzialità delle operazioni D. U. ci è dato dalla geometria.
Com’è ben noto, i postulati della retta, prescindendo dal postulato di Archimede, sono sufficienti a descrivere un campo geometrico. Esistono cioè, secondo la LdP un discorso o sistema ed una forma (universo) di geometria, uno suscettibile di sviluppo o descrizione analitica, l’altra di intuizione sintetica, pei quali l’insieme dei postulati, a prescindere da quello di Archimede, è fondamento necessario. Diciamo che un campo geometrico è perfettamente determinato dai postulati della retta, con esclusione di quello di Archimede. (Geometria non archimedea, Veronese, 1891).
Ma del pari com’è ben noto un campo geometrico, differente dal primo, è pure determinato dall’insieme dei postulati della retta compreso quello di Archimede: si hanno cioè un sistema ed una forma per i quali detto insieme di postulati è fondamento di costruzione necessario c sufficiente.
I due sistemi sono analiticamente differenti, ed in corrispondenza si hanno pure due intuizioni differenti.