Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/382: differenze tra le versioni
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I due luoghi d'ordine <math>n + n'</math>, <math>C_n + C_{n'}'</math> e <math>C_n' + C_{n'}</math> si segano in <math>(n + n')^2</math> punti, de' quali <math>n^2+2nn'= n(n+2n')</math> sono situati in <math>C_{n+n'}</math>. Quindi, siccome <math>n(n+ 2 n') \geq \tfrac{(n+n')(n+n'+ 3)}{2}-1</math> <ref>Se <math>n = 2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n(n + 2n') =\tfrac{(n + n') (n + n' + 3)}{2}-1</math>. Per <math>n\geq3</math> si ha |
I due luoghi d'ordine <math>n + n'</math>, <math>C_n + C_{n'}'</math> e <math>C_n' + C_{n'}</math> si segano in <math>(n + n')^2</math> punti, de' quali <math>n^2+2nn'= n(n+2n')</math> sono situati in <math>C_{n+n'}</math>. Quindi, siccome <math>n(n+ 2 n') \geq \tfrac{(n+n')(n+n'+ 3)}{2}-1</math> <ref>Se <math>n = 2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n(n + 2n') =\tfrac{(n + n') (n + n' + 3)}{2}-1</math>. Per <math>n\geq3</math> si ha |
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<math>n(n+2n')=\tfrac{(n +n')^2+ n (n+n') + n'(n - n')}{2} > \tfrac{(n+n')^2 + 3 (n + n') - 2}{2}</math>.</ref>, |
<math>n(n+2n')=\tfrac{(n +n')^2+ n (n+n') + n'(n - n')}{2} > \tfrac{(n+n')^2 + 3 (n + n') - 2}{2}</math>.</ref>, |
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così ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) anche le altre <math>{n'}^2</math> intersezioni di que' due luoghi, ossia gli <math>{n'}^2</math> punti comuni a <math>C_{n'}</math>, <math>C_{n'}'</math>, giacciono in <math>C_{n+n'}</math> e formano la base d'un fascio d'ordine <math>n'</math>. Così abbiamo sopra <math>C_{n+n'}</math> due sistemi di punti: l'uno di <math>n^2</math> punti, base d'un fascio d'ordine <math>n</math>; l'altro di <math>{n'}^2</math> punti, base d'un secondo fascio d'ordine <math>n'</math>. Ogni curva <math>C_n</math> del primo fascio sega <math>C_{n+n'}</math> in altri <math>nn'</math> punti, che determinano una curva <math>C_{n'}</math> del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti <math>C_n</math>, <math>C_{n'}</math> sono tutte situate sopra <math>C_{n+n'}</math>. |
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{{§|54a|(a)}} In secondo luogo, si supponga <math>n\leq n'</math>. Ogni curva <math>C_n</math>, condotta per gli <math>n^2</math> punti di <math>C_{n+n'}</math>, sega questa curva in altri <math>nn'</math> punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d'ordine <math>n'</math> condotta per <math>nn' -\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}</math> di questi punti passa anche per tutti gli altri ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#41|41]], [[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#42|42]]). Dunque, assumendo ad arbitrio altri |
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{{Centrato|<math>\frac{n'(n'+3)}{2}-\left( nn' - \frac{(n-1)(n-2)}{2}\right)= \frac{(n'-n-1)(n'-n-2)}{2}</math>}} |
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<p style="text-indent:0em">punti, tutti questi <math>\tfrac{n'(n'+3)+(n-1)(n-2)}{2}</math> punti giaceranno in una curva <math>C_{n'}</math> d'ordine <math>n'</math>. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data <math>C_{n+n'}</math>. |
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