Metodo per rendere la Geometria indipendente dal principio della sovrapposizione: differenze tra le versioni

Se ciascuno de' lati AB, AC non è minore del lato BC, è cosa evidente, che ambedue quelli insieme sono maggiori di questo. Sia pertanto ciascuno de' lati AB, AC minore del lato BC. Supponiamo che questi due lati si rivolgano intorno a' punti B, C al disotto della base BC, cosicchè ne risultino le rette HB, HC uguali alle AB, AC, ciascuna a ciascuna: dal punto B col raggio BA descrivasi il cerchio ADE, il quale taglierà il lato maggiore BC in un punto D, e passerà pel punto H. Parimente dal punto C col raggio CA descrivasi il cerchio AFG, il quale segherà il suddetto lato maggiore CB in un punto F, e passerà pel medesimo punto H; dunque i due cerchi ADE, AFG s'incontrano insieme in due punti A, H posti di sopra e di sotto della retta BC; perciò debbono di fra loro segarsi in modo, che l'arco ADH del primo cada verso la parte C, e l'arco AFH del secondo cada verso la parte B. Ciò stabilito, perchè la BA è uguale alla BD, e la BD è maggiore della BF, anche la BA sarà maggiore della BF. E perchè la AC è uguale alla CF, sarà la BA insieme con la AC maggiore della BF insieme con la FC, cioè di tutta la retta BC. Adunque ec.<br/>Il celebre Signor Abate {{AutoreCitato|Francesco Venini|Venini}} ha dato le migliori definizioni, che desiderare si possano della linea retta e della linea curva, cioè: la prima è quella che rivolgendosi intorno a due de' suoi punti non chiude spazio; la seconda è quella che rivolgendosi intorno a due de' suoi punti racchiude spazio. Dal che si deduce aperissimamente, che se la retta e la curva hanno gli stessi termini, la prima è più breve della seconda. Con la stessa evidenza si conosce, che se un triangolo si rivolge intorno a un suo lato, questo lato, che nella sua rivoluzione non chiude spazio, è minore degli altri due lati, che rivolgendosi intorno al detto lato chiudono spazio.</ref>, saranno maggiori ancora della retta FC, per essere EC, FC uguali, siccome raggi del medesimo cerchio. Tolta via la retta comune HC, sarà la rimanente EH maggiore della rimanente FH. Presa poscia in comune la retta HD, sarà la EH insieme con la HD, cioè tutta la ED, maggiore delle due FH, HD. Ma queste nel triangolo FHD prese insieme sono maggiori della FD. Con lo stesso raziocinio si dimostra che la FD è maggiore della GD. Dunque la retta ED più vicina alla DCA, che passa pel centro, è maggiore della retta intermedia FD, e questa è maggiore della terza GD.<br/><br/>