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E poiché nello spazio geometrico, che come lo definii nei miei Fondamenti, ha infinite dimensioni, è rappresentato lo spazio intuitivo, noi vi possiamo lavorare con l’intuizione, immaginando in esso il punto, la retta e il piano come nello spazio ordinario e operando come nella geometria pura. Ma naturalmente non avendo nè potendo avere l’intuizione di uno spazio a quattro dimensioni, combiniamo l’intuizione coll’astrazione, come facciamo per avere lo spazio illimitato da quello intuitivo, e tanta è l’abitudine che acquistiamo, che come crediamo d’intuire tutto lo spazio illimitato, così crediamo di vedere due piani che si incontrano in un solo punto nello spazio a quattro dimensioni1.
Nella distinzione fra spazio fisico e spazio geometrico si conciliano e l’affermazione di Stuart Mill che la retta del matematico non esiste in natura (dovrebbe dirsi più propriamente nello spazio fisico) e la osservazione del Cayley, che non potremmo affermare ciò se non avessimo il concetto della retta.
Nella geometria adunque la libertà dello spirito non è soltanto limitata dal principio di contraddizione, come nella matematica pura, ma bensì anche dai dati dell’intuizione spaziale.
Non possiamo ammettere ad es. un piano nel quale non valga il teorema di Desargues sui triangoli omologici, nè un piano nel quale una retta, che ruota intorno ad un punto non possa assumere la posizione di un’altra retta passante per lo stesso punto, come non potremo ammettere i piani di Bolyai-Lobatschewsky, di Riemann ed ellittico se fosse provato che intuitivamente vale il postulato di Euclide, come non potremmo ammettere una geometria nella quale la retta fosse determinata da tre anzichè da due punti, mentre queste forme sono possibili nella estensione astratta e possono avere in tutto o in parte una rappresentazione nella stessa geometria; allo stesso modo che resterebbe vera pur sempre la geometria della superficie sferica, della pseudosfera e del piano improprio all’infinito se valesse fisicamente o intuitivamente il postulato di Euclide.
Ciò contrasta, ma non contraddice al principio secondo il quale per certe categorie di proprietà possiamo ritenere equivalenti due enti diversi, ad es. due forme
- ↑ Ciò spiega perchè adoperiamo qui la parola spazio anziché la parola varietà, che ha un significato più esteso ma del tutto generico ed astratto.
Amaldi. Per quanto siasi molto discusso su questa esclusione, e se ne trovi qualche traccia anche negli Elementi di Euclide stesso, non s’era mai ottenuta effettivamente. (Vedi A., Fond. di Geometria. Appendice). Anche B. Russel e Poincaré ritengono che la possibilità del movimento di una figura invariabile contiene in questo senso un circolo vizioso. Anzi il Poincaré ritiene che la possibilità di questo movimento non sia una verità evidente per sè stessa, o almeno non lo sia che allo stesso modo del postulato di Euclide. Ed invero la verifica empirica del postulato delle parallele si può far dipendere da quella del movimento di una figura invariabile. Ma per la distinzione che io faccio di spazio geometrico da spazio fisico e quindi tra la geometria pura, per la quale il principio suddetto non è necessario, e le sue pratiche applicazioni, non mi accordo coll’eminente matematico francese, quando egli sostiene (senza fare la distinzione suddetta) che «en étudiant les définitions de la géométrie on voit qu’on est obligé d’admettre, sans les démontrer, non seulement la possibilité de ce mouvement, mais encore quelques unes de ses propriétés«. Questo principio e le sue proprietà sono necessarie invece per le pratiche applicazioni della geometria, come lo è l’assioma delle tre dimensioni dello spazio fisico.
