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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

$\lambda _{k}$, è la speranza matematica di $x^{k}$; ed il momento di ordine k rispetto alla media, $\mu _{k}$, è la speranza matematica di $[x-E(x)]^{k}$. In formula (con ovvio significato dei simboli):

$\lambda _{k}=E(x^{k})=\sum \nolimits _{i}p_{i}x_{i}^{k}$

e

$\mu _{k}=E\left\{\left[x-E(x)\right]^{k}\right\}=\sum \nolimits _{i}p_{i}\left[x_{i}-E(x)\right]^{k}$

per una variabile discreta (analogamente, usando le frequenze, si possono definire i momenti rispetto all’origine ed alla media aritmetica di un campione); oppure

$\lambda _{k}=E(x^{k})=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,\mathrm {d} x$

e

$\mu _{k}=E\left\{\left[x-E(x)\right]^{k}\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[x-E(x)\right]^{k}f(x)\,\mathrm {d} x$

per una variabile continua.

Chiaramente, se la popolazione è costituita da un numero infinito di elementi (quindi, in particolare, per le variabili continue), non è detto che i momenti esistano; inoltre $E(x)\equiv \lambda _{1}$ e $\mathrm {Var} (x)\equiv \mu _{2}\equiv \lambda _{2}-\lambda _{1}^{2}$. Dalla definizione consegue immediatamente che, per qualsiasi popolazione per cui esista $E(x)$,

$\mu _{1}$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[x-E(x)\right]f(x)\,\mathrm {d} x$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x-E(x)\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$
	$=E(x)-E(x)$
	$\equiv 0~$.

È poi facile dimostrare che, per popolazioni simmetriche rispetto alla media, tutti i momenti di ordine dispari rispetto ad essa, se esistono, valgono zero: basta considerare come, negli integrali, i contributi infinitesimi di ognuno degli intervallini si possano associare a due a due in modo che si annullino vicendevolmente. Il valore del momento del terzo ordine rispetto alla media aritmetica può quindi essere considerato una sorta di misura dell’asimmetria di una distribuzione.