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6.1 - La densità di probabilità

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Se immaginiamo di far tendere all’infinito il numero di misure effettuate, in base alla legge dei grandi numeri ci aspettiamo un “aggiustamento” dell’istogramma in modo che l’area rappresentata sopra ogni intervallo tenda alla probabilità che il valore misurato cada entro di esso; le altezze tenderanno quindi al rapporto tra questa probabilità e l’ampiezza dell’intervallo di base dell’istogramma.

Disponendo di un numero infinitamente grande di misure, ha senso diminuire l’ampiezza degli intervalli in cui l’asse delle x è stato diviso, e renderla piccola a piacere. Se l’intervallo corrispondente ad una data classe di frequenza tende a zero, la probabilità che una misura cada in esso tende ugualmente a zero; ma se esiste ed è finito il limite del rapporto tra probabilità dp ed ampiezza dx dell’intervallo, l’istogramma tenderà ad una curva continua la cui ordinata sarà in ogni punto data da tale limite.

L’ordinata di questa curva al di sopra di un intervallo infinitesimo dx vale quindi

$y=f(x)={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}x}}$

e le dimensioni della grandezza y sono quelle di una probabilità (un numero puro) divise per quelle della grandezza x; la y prende il nome di densità di probabilità, o di funzione di frequenza, della x.

La variabile continua schematizza il caso in cui i valori osservabili (sempre discreti per la sensibilità limitata degli strumenti) sono molto densi, separati cioè da intervalli molto piccoli, e assai numerosi. In questa situazione la probabilità di osservare uno solo di tali valori è anch’essa estremamente piccola — ed ha interesse soltanto la probabilità che venga osservato uno tra i molti possibili valori della $x$ che cadono in un dato intervallo $\left[x_{1},x_{2}\right]$ di ampiezza grande rispetto alla risoluzione sperimentale.

Se dividiamo tale intervallo in un numero molto grande di sottointervalli infinitesimi di ampiezza dx, gli eventi casuali consistenti nell’appartenere il risultato della misura ad una delle classi di frequenza relative sono mutuamente esclusivi; di conseguenza, vista l’equazione (3.2), la probabilità che x appartenga all’intervallo finito $\left[x_{1},x_{2}\right]$ e data dalla somma delle probabilità (infinitesime) rispettive ${\text{d}}p=f(x)\,{\text{d}}x$: e questa, per definizione, è l’integrale di $f(x)$ rispetto ad $x$ nell’intervallo $\left[x_{1},x_{2}\right]$.

Insomma, qualunque sia l’intervallo $\left[x_{1},x_{2}\right]$ vale la

$\Pr(x\,\in [x_{1},x_{2}])\,=\,\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\text{d}}x$;

e, in definitiva:

Per le variabili continue non si può parlare di probabilità attraverso le definizioni già esaminate. È invece possibile associare ad ogni