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4.4 - Giustificazione della media

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aritmetica è la stima del valore vero affetta dal minimo errore casuale, cioè avente la più piccola deviazione standard.

Riferendosi a quanto prima accennato, ciò significa che le medie aritmetiche di molti campioni analoghi di $N$ misure avranno un istogramma più stretto delle mode, delle mediane e di qualsiasi altra misura di tendenza centrale desumibile dagli stessi campioni; la larghezza di tale istogramma (misurata, come abbiamo assunto, dal suo scarto quadratico medio) sarà messa in relazione con lo scarto quadratico medio delle misure da un teorema di cui ci occuperemo nel seguito. Da esso discenderà anche che l’errore statistico della media aritmetica converge a zero al crescere indefinito del numero di dati $N$. Per concludere:

1. Disponendo di più misure ripetute della stessa grandezza fisica, si assume come migliore stima del valore vero di quella grandezza la loro media aritmetica.
2. Questa stima è più precisa di quanto non lo siano le singole misure, ed è tanto più attendibile quanto maggiore è il numero delle stesse.
3. Come valutazione dell’errore commesso nelle singole misure si assume il loro scarto quadratico medio; o meglio, per motivi che verranno chiariti in seguito, la quantità ¹

$\mu ={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N-1}}}$.

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1. La differenza tra questa formula e quella prima citata non è praticamente avvertibile se $N$ non è troppo piccolo.