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26 Capitolo 3 - Elementi di teoria della probabilità


Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una volta e ottenendo una testa, quale è la probabilità che nellʼeffettuare la scelta iniziale si sia presa quella “buona”? La risposta è data dal teorema di Bayes, da cui si ottiene:

Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale, sarebbe meglio associarlo al lanciare la moneta volte (con ): o si ottiene almeno una croce, ed allora è sicuramente vera ; o, invece, si presenta lʼevento consistente nellʼottenere teste in lanci. In questʼultimo caso, e se i lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancora lʼequazione (3.6), si ricava che la probabilità di aver scelto la moneta “buona”, , è data da — e di conseguenza è la probabilità che si sia scelta la moneta “cattiva”.

Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per verificare una ipotesi statistica: ovvero per calcolare la probabilità che lʼuna o lʼaltra di un insieme di condizioni che si escludono a vicenda sia vera, sulla base di osservazioni sperimentali riassunte dal verificarsi di ; ma questo ci risulta possibile solo perché si conoscono a priori le probabilità di tutte le condizioni stesse .

Se, viceversa, queste non sono note, la (3.6) ci dà ancora la probabilità che sia vera lʼuna o lʼaltra delle ipotesi se sappiamo che si è verificata la condizione sperimentale ; ma essa non si può ovviamente calcolare, a meno di fare opportune ipotesi sui valori delle : ad esempio assumendole tutte uguali, il che è chiaramente arbitrario. Per essere più specifici, non potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli delineati e del teorema di Bayes per calcolare la probabilità che una particolare moneta da 1 euro ricevuta in resto sia o non sia “buona”: a meno di non conoscere a priori e , le probabilità che una moneta da 1 euro scelta a caso tra tutte quelle circolanti nella nostra zona sia “buona” o “cattiva”.