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Capitolo 3 - Elementi di teoria della probabilità

Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una volta e ottenendo una testa, quale è la probabilità che nellʼeffettuare la scelta iniziale si sia presa quella “buona”? La risposta è data dal teorema di Bayes, da cui si ottiene:

$p(A_{1}\vert E)$	$=$	${\frac {p(A_{1})\cdot p(E\vert A_{1})}{p(A_{1})\cdot p(E\vert A_{1})+p(A_{2})\cdot p(E\vert A_{2})}}$
	$=$	${\frac {0.5\cdot 0.5}{0.5\cdot 0.5+0.5\cdot 1}}$
	$=$	${\frac {0.25}{0.75}}$
	$=$	${\frac {1}{3}}.$

Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale, sarebbe meglio associarlo al lanciare la moneta $N$ volte (con $N>1$ ): o si ottiene almeno una croce, ed allora è sicuramente vera $A_{1}$ ; o, invece, si presenta lʼevento $E$ consistente nellʼottenere $N$ teste in $N$ lanci. In questʼultimo caso, $p(E\vert A_{2})=1$ e $p(E\vert A_{1})=1/2^{N}$ se i lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancora lʼequazione (3.6), si ricava che la probabilità di aver scelto la moneta “buona”, $p(A_{1})$ , è data da $1/(1+2^{N})$ — e di conseguenza $p(A_{2})=2^{N}/(1+2^{N})$ è la probabilità che si sia scelta la moneta “cattiva”.

Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per verificare una ipotesi statistica: ovvero per calcolare la probabilità che lʼuna o lʼaltra di un insieme di condizioni $A_{j}$ che si escludono a vicenda sia vera, sulla base di osservazioni sperimentali riassunte dal verificarsi di $E$ ; ma questo ci risulta possibile solo perché si conoscono a priori le probabilità di tutte le condizioni stesse $p(A_{j})$ .

Se, viceversa, queste non sono note, la (3.6) ci dà ancora la probabilità che sia vera lʼuna o lʼaltra delle ipotesi $A_{j}$ se sappiamo che si è verificata la condizione sperimentale $E$ ; ma essa non si può ovviamente calcolare, a meno di fare opportune ipotesi sui valori delle $p(A_{j})$ : ad esempio assumendole tutte uguali, il che è chiaramente arbitrario. Per essere più specifici, non potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli delineati e del teorema di Bayes per calcolare la probabilità che una particolare moneta da 1 euro ricevuta in resto sia o non sia “buona”: a meno di non conoscere a priori $p(A_{1})$ e $p(A_{2})$ , le probabilità che una moneta da 1 euro scelta a caso tra tutte quelle circolanti nella nostra zona sia “buona” o “cattiva”.