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Appendice E - La funzione di verosimiglianza

e la sua derivata rispetto al parametro $\lambda$

${\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \lambda }}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}-\lambda }{{\sigma _{i}}^{2}}}\;=\;\left(\sum \nolimits _{i}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\left({\frac {\displaystyle \sum \nolimits _{i}{\frac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}}{\displaystyle {\sum \nolimits _{i}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}}}}\,-\lambda \right)$.

Pertanto la media dei dati, pesati con coefficienti inversamente proporzionali alle varianze, è una stima di minima varianza per $\lambda$. Se le $N$ varianze sono poi tutte uguali tra loro e di valore $\sigma ^{2}$, risulta

${\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \lambda }}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\left(\,\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-N\lambda \right]\;=\;{\frac {N}{\sigma ^{2}}}\left({\bar {x}}-\lambda \right)\;=\;{\frac {{\bar {x}}-\lambda }{R}}$

ed in tal caso la media aritmetica del campione è una stima di minima varianza per $\lambda$. Sempre in tal caso è poi

$R(\lambda )\;\equiv \;R\;=\;{\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

con

$\tau (\lambda )\equiv \lambda$

e

$\tau '(\lambda )\;=\;1$

dunque

${\text{Var}}({\bar {x}})\;=\;\tau '\,R\;=\;{\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

come d’altra parte già si sapeva.

Qui la media del campione è un esempio di statistica sufficiente per $\lambda$; infatti non ha alcuna importanza quali siano i singoli valori $x_{i}$: ma se le medie di due diversi campioni sono uguali, le conclusioni che si possono trarre sul valore di $\lambda$ sono le medesime.

Supponendo di conoscere il valore medio $\lambda$, la stima della varianza $\sigma ^{2}$ si ottiene cercando lo zero della derivata logaritmica

${\frac {\partial \left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \sigma }}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\left[\,\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\lambda )^{2}\right]-{\frac {N}{\sigma }}\;=\;{\frac {N}{\sigma ^{3}}}\,\left\{\left[{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\lambda )^{2}\right]-\sigma ^{2}\right\}$

la quale ha la forma richiesta perché la soluzione

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\lambda )^{2}$