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e le soluzioni ${\widehat {\theta }}$ sono tutte e sole quelle dell’equazione

$\tau (\theta )=t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$.

La derivata seconda di $\ln {\mathcal {L}}$ è in tal caso

${\frac {\partial ^{2}\left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta ^{2}}}$	$=-\,{\frac {\tau '(\theta )\cdot R(\theta )+R'(\theta )\cdot \left[t-\tau (\theta )\right]}{R^{2}(\theta )}}$
	$=-\,{\frac {{\sigma _{t}}^{2}+R'(\theta )\cdot \left[t-\tau (\theta )\right]}{R^{2}(\theta )}}$

ma se $\theta ={\widehat {\theta }}$ è anche $t-\tau {\bigl (}{\widehat {\theta }}\,{\bigr )}=0$ e risulta

$\left[{\frac {\partial ^{2}\left(\ln {\mathcal {L}}\right)}{\partial \theta ^{2}}}\right]_{\theta ={\widehat {\theta }}}\;=\;-\,{\frac {{\sigma _{t}}^{2}}{R^{2}{\bigl (}{\widehat {\theta }}\,{\bigr )}}}\;<\;0$;

cioè per tutte le soluzioni $\theta ={\widehat {\theta }}$ la verosimiglianza è massima.

Ora, se la funzione $\ln {\mathcal {L}}$ è regolare, tra due massimi deve esistere un minimo; dato che non esistono minimi, ne consegue che il massimo è unico ed in corrispondenza al valore della funzione $\tau ^{-1}$ inversa di $\tau (\theta )$ e calcolata in $t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$:

${\widehat {\theta }}\;=\;\tau ^{-1}\left[t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right]$.

La statistica $t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$ (come viene anche indicata una funzione dei dati) di minima varianza è un caso particolare di statistica sufficiente per il parametro $\theta$, come è chiamata una funzione dei valori osservati, se esiste, che riassume in sé tutta l’informazione che i dati possono fornire sul valore del parametro.

Se $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ sono i valori osservati di $N$ variabili casuali normali con lo stesso valore medio $\lambda$ e varianze rispettive $\sigma _{i}$ supposte note, la verosimiglianza è

${\mathcal {L}}\;=\;\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}\,{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{\textstyle -{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {x_{i}-\lambda }{\sigma _{i}}}{\bigr )}^{2}}$

il suo logaritmo

$\ln {\mathcal {L}}\;=\;-\,{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\left(x_{i}-\lambda \right)^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\,-\,\sum _{i=1}^{N}\ln \left(\sigma _{i}\,{\sqrt {2\pi }}\right)$