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Appendice E - La funzione di verosimiglianza

Una importante proprietà della stima $t$ è la sua varianza, data (se essa è imparziale) da

${\sigma _{t}}^{2}$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\,{\bigl [}t-\tau (\theta ){\bigr ]}^{2}g(t;\theta )\,\mathrm {d} t$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{1}\,f_{1}(x_{1};\theta )\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{N}\,f_{N}(x_{N};\theta )\,{\bigl [}t(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\tau (\theta ){\bigr ]}^{2}$

perché la minima varianza sarà il nostro criterio di scelta fra diverse stime di $\tau (\theta )$.

Il teorema che segue (teorema di Cramér-Rao) mostra che esiste un limite inferiore per la varianza di una stima. Osserviamo per prima cosa che la densità di probabilità per la $N$-pla $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$ risulta

$\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x_{i};\theta ^{*})$

per il teorema della probabilità composta; se in luogo del valore vero $\theta ^{*}$ si pone il parametro variabile $\theta$, si ottiene la funzione di verosimiglianza

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};\theta )=\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x_{i};\theta )$.

La condizione di normalizzazione di ciascuna $f_{i}$ comporta che l’integrale della verosimiglianza su tutti i domini delle variabili $x_{i}$ valga 1:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{1}\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{N}\,{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};\theta )\;=$

$=\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{1}\,f_{1}(x_{1};\theta )\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{2}\,f_{2}(x_{2};\theta )\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{N}\,f_{N}(x_{N};\theta )$

$=\prod _{i=1}^{N}\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{i}\,f_{i}(x_{i};\theta )$

$\equiv \;1$

indipendentemente dal valore di $\theta$. Derivando sotto il segno di integrale rispetto a $\theta$, dato che i domini delle $f_{i}(x_{i};\theta )$ non dipendono da detta variabile si ottiene

$\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{1}\int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }\,\mathrm {d} x_{N}\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}=0$