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Appendice D - Il modello di Laplace e la funzione di Gauss

Nel caso particolare del modello semplificato di Laplace per gli errori di misura, $p=q=0.5$ e pertanto i termini di ordine $1/{\sqrt {N}}$ sono identicamente nulli: l’approssimazione è già buona per $N\geq 25$; nel caso generale $p\neq q$, essa è invece accettabile per $Npq\geq 9$. Introducendo lo scarto quadratico medio di $M$ e di $\lambda$

$\sigma ={\sqrt {Npq}}$

l’espressione si può scrivere

$P(\lambda )\;\approx \;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {\lambda ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

che è la celebre legge normale o legge di Gauss.

Tornando ancora al modello semplificato di Laplace per gli errori di misura, il risultato $x$ ha uno scarto dal valore vero che vale

$x-x^{*}\;=\;\epsilon \,(2M-N)\;=\;\epsilon \,(2Np+2\lambda -N)\;=\;2\epsilon \lambda$

e possiede varianza

${\sigma _{x}}^{2}\;\equiv \;{\text{Var}}\left(x-x^{*}\right)\;=\;4\,\epsilon ^{2}\,{\text{Var}}(\lambda )\;=\;4\epsilon ^{2}\sigma ^{2}$.

La probabilità di un certo risultato $x=x^{*}+2\epsilon \lambda$ vale infine

$P(x)\;=\;P(\lambda )\;\approx \;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\sigma ^{2}}}}\;=\;{\frac {2\epsilon }{\sigma _{x}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {x-x^{*}}{\sigma _{x}}}{\bigr )}^{2}}$.

La $x$ è una grandezza discreta che varia per multipli di $\epsilon$; nel limite su accennato diventa una variabile continua, e $P(x)$ è infinitesima con $\epsilon$ perdendo così significato; si mantiene invece finita la densità di probabilità, che si ottiene dividendo $P(x)$ per l’ampiezza $2\epsilon$ dell’intervallo che separa due valori contigui di $x$:

$f(x)\;=\;{\frac {P(x)}{2\epsilon }}\;=\;{\frac {1}{\sigma _{x}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {x-x^{*}}{\sigma _{x}}}{\bigr )}^{2}}$

ed ha infatti le dimensioni fisiche di $1/\sigma _{x}$, ovvero di $1/x$.

Al medesimo risultato per $f(x)$ si perverrebbe anche nell’ipotesi più generale che gli errori elementari siano distribuiti comunque, ed anche diversamente l’uno dall’altro, purché ciascuno abbia una varianza dello stesso ordine di grandezza degli altri ed infinitesima al divergere del numero delle cause di errore.