sviluppare i due logaritmi in serie di McLaurin:
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots } .
Il primo termine di ln κ {\displaystyle \ln \kappa } diventa
− ( N p + λ + 1 2 ) ( λ N p − λ 2 2 N 2 p 2 + λ 3 3 N 3 p 3 − ⋯ ) = {\displaystyle -{\biggl (}Np+\lambda +{\frac {1}{2}}{\biggr )}\left({\frac {\lambda }{Np}}-{\frac {\lambda ^{2}}{2\,N^{2}p^{2}}}+{\frac {\lambda ^{3}}{3\,N^{3}p^{3}}}-\cdots \right)=}
= − λ + ( λ 2 2 N p − λ 2 N p ) − ( λ 3 3 N 2 p 2 − λ 3 2 N 2 p 2 + λ 2 N p ) + ⋯ {\displaystyle =-\lambda +\left({\frac {\lambda ^{2}}{2\,Np}}-{\frac {\lambda ^{2}}{Np}}\right)-\left({\frac {\lambda ^{3}}{3\,N^{2}p^{2}}}-{\frac {\lambda ^{3}}{2\,N^{2}p^{2}}}+{\frac {\lambda }{2\,Np}}\right)+\cdots }
= − λ − λ 2 2 N p − λ 2 N p + λ 3 6 N 2 p 2 + ⋯ {\displaystyle =-\,\lambda -{\frac {\lambda ^{2}}{2\,Np}}-{\frac {\lambda }{2\,Np}}+{\frac {\lambda ^{3}}{6\,N^{2}p^{2}}}+\cdots }
ed il secondo
− ( N q − λ + 1 2 ) ( − λ N q − λ 2 2 N 2 q 2 − λ 3 3 N 3 q 3 − ⋯ ) = {\displaystyle -\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {\lambda }{Nq}}-{\frac {\lambda ^{2}}{2\,N^{2}q^{2}}}-{\frac {\lambda ^{3}}{3\,N^{3}q^{3}}}-\cdots \right)=}
= λ − λ 2 2 N q + λ 2 N q − λ 3 6 N 2 q 2 − ⋯ {\displaystyle =\lambda -{\frac {\lambda ^{2}}{2\,Nq}}+{\frac {\lambda }{2\,Nq}}-{\frac {\lambda ^{3}}{6\,N^{2}q^{2}}}-\cdots }
e sommando si ottiene
ln κ = − λ 2 2 N p q − λ 2 N ( 1 p − 1 q ) + λ 3 6 N 2 ( 1 p 2 − 1 q 2 ) + ⋯ {\displaystyle \ln \kappa =-{\frac {\lambda ^{2}}{2\,Npq}}-{\frac {\lambda }{2\,N}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}\right)+{\frac {\lambda ^{3}}{6\,N^{2}}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}}}\right)+\cdots } .
Da questo sviluppo risulta che il solo termine che si mantiene finito al divergere di N {\displaystyle N} , e per valori di λ {\displaystyle \lambda } dell’ordine di N p q {\displaystyle {\sqrt {Npq}}} , è il primo; gli altri due scritti convergono a zero come 1 / N {\displaystyle 1/{\sqrt {N}}} , e tutti gli altri omessi almeno come 1 / N {\displaystyle 1/N} . In conclusione, per valori dello scarto per cui la probabilità non è trascurabile (grosso modo | λ | < 3 N p q {\displaystyle |\lambda |<3{\sqrt {Npq}}} ), al divergere di N {\displaystyle N} il logaritmo di κ {\displaystyle \kappa } è bene approssimato da
ln κ ≈ − λ 2 2 N p q {\displaystyle \ln \kappa \;\approx \;-\,{\frac {\lambda ^{2}}{2\,Npq}}}
e la probabilità dello scarto dalla media λ {\displaystyle \lambda } da
P ( λ ) ≈ 1 2 π N p q e − 1 2 λ 2 N p q {\displaystyle P(\lambda )\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi Npq}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{Npq}}}} ;
per la variabile M {\displaystyle M} sarà invece
P ( M ) ≈ 1 2 π N p q e − 1 2 ( M − N p ) 2 N p q . {\displaystyle P(M)\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi Npq}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(M-Np)^{2}}{Npq}}}.}