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Appendice D - Il modello di Laplace e la funzione di Gauss |
Queste approssimazioni sono valide quando gli argomenti dei fattoriali,
e
, sono abbastanza grandi: cioè quando
non è vicino ai valori limite
e
; accettata la loro validità (e ritorneremo su questo punto tra poco), sostituendo si ha
.
Questa espressione è certamente valida quando
non è troppo grande, e per
fornisce la probabilità del valore medio di
(
), che risulta
.
Questa probabilità tende a zero come
al crescere di
; dato che la somma delle probabilità relative a tutti i casi possibili deve essere 1, si deve concludere che il numero di valori di
per cui la probabilità non è trascurabile rispetto al suo massimo deve divergere come
al crescere di
, sebbene il numero di tutti i possibili valori (che è
) diverga invece come
.
L’espressione approssimata di
non è valida per valori di
prossimi agli estremi
e
(è infatti divergente); tuttavia tali valori hanno probabilità infinitesime di presentarsi al crescere di
. Infatti
e
, ed entrambi tendono a zero quando
tende all’infinito essendo sia
che
inferiori all’unità.
Concludendo: la formula approssimata da noi ricavata è valida già per valori relativamente piccoli di
, e per
molto grande si può ritenere esatta per tutti i valori dello scarto
con probabilità non trascurabile di presentarsi, valori che sono mediamente dell’ordine dell’errore quadratico medio
e che quindi divergono solo come
. Consideriamo ora il fattore
che nell’espressione approssimata di
moltiplica il valore massimo
, e se ne prenda il logaritmo naturale:
Ora, poiché sia
che
sono in modulo minori dell’unità (salvi i due casi estremi, di probabilità come sappiamo infinitesima), si possono