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Appendice D

Il modello di Laplace e la funzione di Gauss

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Pensiamo di eseguire una misura di una grandezza fisica (il cui valore vero indicheremo con il simbolo $x^{*}$), e sia $x$ il risultato ottenuto; in generale $x$ è diverso da $x^{*}$ per la presenza degli errori di misura, che supporremo siano di natura puramente casuale.

Questi errori casuali di misura possono essere schematizzati come un insieme estremamente grande, al limite infinito, di disturbi contemporanei molto piccoli, al limite infinitesimi, ognuno dei quali tende ad alterare di pochissimo il risultato della misura; si considerino in particolare le seguenti ipotesi (modello semplificato di Laplace¹ per gli errori di misura):

1. Ognuna delle singole cause di disturbo presenti introdurrà nella misura una variazione rispetto al valore vero di modulo fisso $\epsilon$, con uguale probabilità in difetto o in eccesso.
2. Ognuna delle variazioni nella misura dovute a queste cause di disturbo è statisticamente indipendente dalle altre.

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1. Pierre Simon de Laplace visse in Francia dal 1749 al 1827; famoso matematico, fisico ed astronomo, provò la stabilità del sistema solare, sviluppò la teoria delle equazioni differenziali e dei potenziali, contribuì allo studio del calore e dei fenomeni capillari oltre a gettare le basi matematiche per una teoria dell’elettromagnetismo. Durante la rivoluzione francese fu uno degli ideatori del sistema metrico decimale; per quel che riguarda la statistica, nel 1812 pubblicò il trattato “Théorie Analytique des Probabilités” che contiene, tra l’altro, studi sulla distribuzione normale e la derivazione della regola dei minimi quadrati.

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