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Appendice C - Covarianza e correlazione

Vale anche l’inverso: partendo infatti dall’ipotesi che le due variabili siano legate da una relazione lineare data da $y=a+bx$, con $b$ finito e non nullo, ne consegue che:

$E(y)$	$=a+b\,E(x)$
${\text{Var}}(y)$	$=b^{2}\,{\text{Var}}(x)$
$E(xy)$	$=E(a\,x+b\,x^{2})$
	$=a\,E(x)+b\,E(x^{2})$
${\text{Cov}}(x,y)$	$=E(xy)-E(x)\cdot E(y)$
	$=a\,E(x)+b\,E(x^{2})-E(x){\bigl [}a+b\,E(x){\bigr ]}$
	$=b\left\{E(x^{2})-{\bigl [}E(x){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=b\cdot {\text{Var}}(x)$
${\text{Corr}}(x,y)$	$={\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}$
	$={\frac {b\,{\text{Var}}(x)}{\sqrt {b^{2}{\bigl [}{\text{Var}}(x){\bigr ]}^{2}}}}$
	$={\frac {b}{|b|}}$
	$=\pm 1$.

Il segno del coefficiente di correlazione è quello del coefficiente angolare della retta. Sono da notare due cose: innanzi tutto il rapporto $b/|b|$ perde significato quando $b=0$ o quando $b=\infty$, cioè quando la retta è parallela ad uno degli assi coordinati: in questi casi ($x=$ costante o $y=$ costante) una delle due grandezze non è in realtà una variabile casuale, e l’altra è dunque indipendente da essa; è facile vedere che tanto il coefficiente di correlazione tra $x$ e $y$ quanto la covarianza valgono zero, essendo $E(xy)\equiv E(x)\cdot E(y)$ in questo caso.

Anche quando esiste una relazione funzionale esatta tra $x$ e $y$, se questa non è rappresentata da una funzione lineare il coefficiente di correlazione non raggiunge i valori estremi $\pm 1$; per questa ragione appunto esso si chiama più propriamente “coefficiente di correlazione lineare”.