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Questa relazione ha validità generale. Nel caso poi che la popolazione ubbidisca alla legge normale, potremo calcolare il valore medio di $x^{4}$ usando la forma analitica della funzione di Gauss: per distribuzioni normali qualsiasi, i momenti di ordine pari rispetto alla media sono dati dalla formula (8.5), che qui ricordiamo:

$\mu _{2k}\;=\;E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2k}\right\}\;=\;{\frac {(2k)!}{2^{k}\,k!}}\,{\mu _{2}}^{k}\;=\;{\frac {(2k)!}{2^{k}\,k!}}\,\sigma ^{2k}.$

Per la varianza di $s^{2}$ se ne ricava

$E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}=3\sigma ^{4}$

e, sostituendo,

${\text{Var}}{\bigl (}s^{2}{\bigr )}\;=\;{\frac {2(N-1)}{N^{2}}}\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}\;=\;{\frac {2(N-1)}{N^{2}}}\,\sigma ^{4};$

insomma l’errore quadratico medio della varianza $s^{2}$ del campione vale

$\sigma _{s^{2}}={\frac {\sqrt {2(N-1)}}{N}}\,\sigma ^{2}$.

La varianza, invece, della stima della varianza della popolazione

$\sigma ^{2}={\frac {N}{N-1}}\,s^{2}$

vale

${\text{Var}}{\bigl (}\sigma ^{2}{\bigr )}\;=\;\left({\frac {N}{N-1}}\right)^{2}\,{\text{Var}}{\bigl (}s^{2}{\bigr )}\;=\;{\frac {2}{N-1}}\,\sigma ^{4}$;

ed infine l’errore quadratico medio della stima della varianza della popolazione ricavata dal campione è

$\sigma _{\sigma ^{2}}={\sqrt {\dfrac {2}{N-1}}}\sigma ^{2}$

Sottolineiamo ancora come queste formule che permettono di calcolare, per una popolazione avente distribuzione normale, gli errori quadratici medi sia della varianza di un campione di $N$ misure che della stima della varianza della popolazione ricavata da un campione di $N$ misure, siano esatte.