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Appendice B - L'errore della varianza
in numero di N {\displaystyle N} ; nella terza vi sono N ( N − 1 ) / 2 {\displaystyle N\,(N-1)/2} termini distinti: ma ciascuno appare in 6 modi diversi solo per l’ordine, corrispondenti al numero C 2 4 {\displaystyle C_{2}^{4}} di combinazioni dei quattro indici originari i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} , k {\displaystyle k} ed l {\displaystyle l} presi a due a due. Allora
E ( ∑ i x i ) 4 = N E ( x 4 ) + 3 N ( N − 1 ) [ E ( x 2 ) ] 2 {\displaystyle E\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{4}=N\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}+3\,N\,(N-1)\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}} ;
e, riprendendo la formule di partenza,
E ( s 4 ) = ( N − 1 ) 2 N 3 E ( x 4 ) + ( N − 1 ) ( N 2 − 2 N + 3 ) N 3 [ E ( x 2 ) ] 2 . {\displaystyle E{\bigl (}s^{4}{\bigr )}={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}+{\frac {(N-1)(N^{2}-2N+3)}{N^{3}}}\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}.}
Per il valore medio di s 2 {\displaystyle s^{2}} , già sappiamo come risulti per la varianza del campione
E ( s 2 ) = σ 2 − σ x ¯ 2 {\displaystyle E{\bigl (}s^{2}{\bigr )}=\sigma ^{2}-{\sigma _{\bar {x}}}^{2}}
inoltre
σ 2 = E { ( x − x ∗ ) 2 } = E ( x 2 ) {\displaystyle \sigma ^{2}\;=\;E\left\{\left(x-x^{*}\right)^{2}\right\}\;=\;E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}}
(essendo x ∗ = 0 {\displaystyle x^{*}=0} ) e
σ x ¯ 2 = E { ( x ¯ − x ∗ ) 2 } = σ 2 N {\displaystyle {\sigma _{\bar {x}}}^{2}\;=\;E\left\{\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}\right\}\;=\;{\frac {\sigma ^{2}}{N}}}
da cui abbiamo ottenuto a suo tempo la
E ( s 2 ) = N − 1 N σ 2 = N − 1 N E ( x 2 ) {\displaystyle E{\bigl (}s^{2}{\bigr )}\;=\;{\frac {N-1}{N}}\,\sigma ^{2}\;=\;{\frac {N-1}{N}}\,E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}} .
Per la varianza di s 2 {\displaystyle s^{2}} , che vogliamo determinare:
Var ( s 2 ) {\displaystyle {\text{Var}}{\bigl (}s^{2}{\bigr )}}
= E ( s 4 ) − [ E ( s 2 ) ] 2 {\displaystyle =E{\bigl (}s^{4}{\bigr )}-\left[E{\bigl (}s^{2}{\bigr )}\right]^{2}}
= ( N − 1 ) 2 N 3 E ( x 4 ) + {\displaystyle ={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}+}
+ [ ( N − 1 ) ( N 2 − 2 N + 3 ) N 3 − ( N − 1 ) 2 N 2 ] [ E ( x 2 ) ] 2 {\displaystyle +\left[\,{\frac {(N-1)(N^{2}-2N+3)}{N^{3}}}\,-\,{\frac {(N-1)^{2}}{N^{2}}}\,\right]\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}}
= ( N − 1 ) 2 N 3 E ( x 4 ) − ( N − 1 ) ( N − 3 ) N 3 [ E ( x 2 ) ] 2 {\displaystyle ={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}\,-\,{\frac {(N-1)(N-3)}{N^{3}}}\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}}
= N − 1 N 3 { ( N − 1 ) E ( x 4 ) − ( N − 3 ) [ E ( x 2 ) ] 2 } {\displaystyle ={\frac {N-1}{N^{3}}}\,\left\{(N-1)\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}\,-\,(N-3)\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}\right\}} .