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La prima sommatoria comprende $N$ addendi distinti; la seconda è estesa a tutte le possibili combinazioni dei valori distinti di $i$ e $j$ presi a due a due: è costituita quindi da

$C_{2}^{N}={\frac {N\,(N-1)}{2}}$

addendi distinti.

Il fattore 2 che compare davanti ad essa è dovuto al fatto che una coppia di valori degli indici si presentava nella sommatoria su $i\neq j$ una volta come ${x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}$ e un’altra come ${x_{j}}^{2}{x_{i}}^{2}$, termini diversi per l’ordine ma con lo stesso valore. In definitiva, passando ai valori medi e tenendo conto dell’indipendenza statistica di $x_{i}$ e $x_{j}$ quando è $i\neq j$, risulta

$E\left\{\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)^{2}\right\}=N\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}+N\,(N-1)\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}$.

Con simili passaggi, si ricava per il secondo termine

$\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right){\Bigl (}\sum \nolimits _{j}x_{j}{\Bigr )}^{2}=\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)\left(\sum _{j}{x_{j}}^{2}+\sum _{\begin{array}{c}j,k\\j\neq k\end{array}}x_{j}x_{k}\right)$

$=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\i\neq j\end{array}}{x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\i\neq j\end{array}}{x_{i}}^{3}x_{j}+\sum _{\begin{array}{c}i,j,k\\i\neq j\neq k\end{array}}{x_{i}}^{2}x_{j}\,x_{k}$

dove gli indici aventi simboli diversi si intendono avere anche valori sempre diversi tra loro nelle sommatorie.

Il valore medio del terzo e del quarto termine si annulla essendo $E(x)=0$; inoltre gli addendi nella prima sommatoria sono in numero di $N$ e quelli nella seconda in numero di $N\,(N-1)/2$ e vanno moltiplicati per un fattore 2. Pertanto anche

$E\left\{\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{2}\right\}=N\,E{\bigl (}x^{4}{\bigr )}+N\,(N-1)\,\left[E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\right]^{2}$.

Infine avremo, con la medesima convenzione sugli indici,

$\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{4}=\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right){\Bigl (}\sum \nolimits _{j}x_{j}{\Bigr )}\left(\sum \nolimits _{k}x_{k}\right)\left(\sum \nolimits _{l}x_{l}\right)$

$=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\i\neq j\end{array}}{x_{i}}^{3}x_{j}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\i\neq j\end{array}}{x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}+\sum _{\begin{array}{c}i,j,k\\i\neq j\neq k\end{array}}{x_{i}}^{2}x_{j}x_{k}+\sum _{\begin{array}{c}i,j,k,l\\i\neq j\neq k\neq l\end{array}}x_{i}x_{j}x_{k}x_{l}$.

I valori medi del secondo, quarto e quinto termine (che contengono potenze dispari delle $x$) sono nulli. Gli addendi nella prima sommatoria sono