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Appendice A - Cenni di calcolo combinatorio

A.2 Fattoriale di un numero intero

Si definisce come fattoriale di un numero intero positivo $N$ , e si indica con il simbolo $N!$ , il prodotto dei primi $N$ numeri interi:

$N!=1\cdot 2\cdot 3\cdots N$ ;

per motivi che appariranno chiari più avanti¹, si definisce poi il fattoriale di zero come $0!=1$ .

A.3 Disposizioni

Se $N$ e $K$ sono due numeri interi positivi tali che sia $K\leq N$ , si definisce come numero delle disposizioni di $N$ oggetti di classe $K$ (che si indica con il simbolo $D_{K}^{N}$ ) il numero dei gruppi distinti di $K$ oggetti che è possibile formare a partire dagli $N$ originali; definendo come distinti due gruppi se essi differiscono o per qualche elemento o per l’ordine.

Come esempio, le disposizioni di classe 2 che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto italiano sono le seguenti:

	AB	AC	AD	···	AV	AZ
BA		BC	BD	···	BV	BZ
				···
ZA	ZB	ZC	ZD	···	ZV

Il valore di $D_{K}^{N}$ si può facilmente trovare sfruttando il lemma fondamentale del calcolo combinatorio: il primo elemento di una disposizione si può infatti scegliere in $N$ modi distinti, il secondo in $N-1$ , e così via. Di conseguenza $D_{K}^{N}$ è il prodotto di $K$ numeri interi decrescenti a partire da $N$ :

D_{K}^{N}\;=\;N\cdot (N-1)\cdot (N-2)\cdots (N-K+1)\;=\;{\frac {N!}{(N-K)!}}

(A.1)

(nel caso dell’esempio fatto, le disposizioni sono $D_{2}^{21}=21\cdot 20=420$ ; nella tabella in cui sono state elencate vi sono 21 righe di 20 elementi ciascuna).

L’espressione (A.1) è verificata anche se $K=N$ , però purché (come prima detto) si ponga $0!=1$ .

↑ La “definizione” $0!=1$ non è così arbitraria come può sembrare: in realtà si comincia definendo una certa funzione di variabile complessa $\Gamma (z)$ che, quando l’argomento $z$ è un numero intero positivo, coincide con il suo fattoriale; e per la quale si vede che $\Gamma (0)=1$ .

[1] La “definizione” $0!=1$ non è così arbitraria come può sembrare: in realtà si comincia definendo una certa funzione di variabile complessa $\Gamma (z)$ che, quando l’argomento $z$ è un numero intero positivo, coincide con il suo fattoriale; e per la quale si vede che $\Gamma (0)=1$ .

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