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244 Appendice A - Cenni di calcolo combinatorio

A.2 Fattoriale di un numero intero

Si definisce come fattoriale di un numero intero positivo , e si indica con il simbolo , il prodotto dei primi numeri interi:

;

per motivi che appariranno chiari più avanti1, si definisce poi il fattoriale di zero come .

A.3 Disposizioni

Se e sono due numeri interi positivi tali che sia , si definisce come numero delle disposizioni di oggetti di classe (che si indica con il simbolo ) il numero dei gruppi distinti di oggetti che è possibile formare a partire dagli originali; definendo come distinti due gruppi se essi differiscono o per qualche elemento o per l’ordine.

Come esempio, le disposizioni di classe 2 che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto italiano sono le seguenti:

AB AC AD ··· AV AZ
BA BC BD ··· BV BZ
···
ZA ZB ZC ZD ··· ZV

Il valore di si può facilmente trovare sfruttando il lemma fondamentale del calcolo combinatorio: il primo elemento di una disposizione si può infatti scegliere in modi distinti, il secondo in , e così via. Di conseguenza è il prodotto di numeri interi decrescenti a partire da :

(A.1)

(nel caso dell’esempio fatto, le disposizioni sono ; nella tabella in cui sono state elencate vi sono 21 righe di 20 elementi ciascuna).

L’espressione (A.1) è verificata anche se , però purché (come prima detto) si ponga .



  1. La “definizione” non è così arbitraria come può sembrare: in realtà si comincia definendo una certa funzione di variabile complessa che, quando l’argomento è un numero intero positivo, coincide con il suo fattoriale; e per la quale si vede che .