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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

Sia una variabile casuale $x$, la cui densità di probabilità supponiamo sia una funzione $f(x;\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{M})$ dipendente da $M$ parametri: indicando sinteticamente la $M$-pla dei valori dei parametri come un vettore ${\boldsymbol {\theta }}$ in uno spazio a $M$ dimensioni (spazio dei parametri), consista $H_{0}$ nell'essere ${\boldsymbol {\theta }}$ compreso all'interno di una certa regione $\Omega _{0}$ di tale spazio; mentre $H_{a}$ consista nell'appartenere ${\boldsymbol {\theta }}$ alla regione $\Omega _{a}$ complementare a $\Omega _{0}$: $\Omega _{a}\equiv {\bar {H}}_{0}$, così che $(\Omega _{0}\cup \Omega _{a})$ coincida con l'intero spazio dei parametri ${\mathcal {S}}$.

In particolare, $\Omega _{0}$ può estendersi, in alcune delle dimensioni dello spazio dei parametri, da $-\infty$ a $+\infty$; e, in tal caso, il vincolo sulle $\theta _{i}$ cui corrisponde l'ipotesi nulla riguarderà un numero di parametri minore di $M$.

Scritta la funzione di verosimiglianza,

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\theta }})=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};{\boldsymbol {\theta }})$

(13.8)

indichiamo con ${\mathcal {L}}({\widehat {S}})$ il suo massimo valore nell'intero spazio dei parametri; e con ${\mathcal {L}}({\widehat {R}})$ il massimo valore assunto sempre della (13.8), ma con i parametri vincolati a trovarsi nella regione $\Omega _{0}$ (quindi limitatamente a quei casi nei quali $H_{0}$ è vera). Il rapporto

$\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\widehat {R}})}{{\mathcal {L}}({\widehat {S}})}}$

(13.9)

deve essere un numero appartenente all'intervallo $[0,1]$; se si fissa un arbitrario valore $k$ ($0<k<1$), esso definisce una generica regione di rigetto, ${\mathcal {R}}_{k}$, attraverso la

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\widehat {R}})}{{\mathcal {L}}({\widehat {S}})}}<k\;\right\}$

(ovvero si accetta $H_{0}$ quando $\lambda \geq k$ e la si rigetta quando $\lambda <k$). Nel caso si sappia determinare la densità di probabilità di $\lambda$ condizionata all'assunzione che $H_{0}$ sia vera, $g(\lambda |H_{0})$, la probabilità di un errore di prima specie è data ovviamente da

$P_{I}\;=\;\alpha \;=\;\Pr {\bigl (}\lambda \in [0,k]|H_{0}{\bigr )}\;=\;\int _{0}^{k}g(\lambda |H_{0})\,\mathrm {d} \lambda$.

L'importanza del metodo sta nel fatto che si può dimostrare il seguente

Teorema: se l'ipotesi nulla $H_{0}$ consiste nell'appartenenza di un insieme di $P\leq M$ dei parametri $\theta _{i}$ ad una determinata regione $\Omega _{0}$, e se l'ipotesi alternativa $H_{a}$ consiste nel fatto che essi non vi appartengano ($H_{a}\equiv {\bar {H}}_{0}$), allora $-2\ln \lambda$, ove $\lambda$ è definito dalla (13.9), ha densità di probabilità che, ammessa vera l'ipotesi nulla, converge in probabilità (all'aumentare di $N$) alla distribuzione del $\chi ^{2}$ a $P$ gradi di libertà.