Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/244

228

Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

dato a disposizione (un evento $E$ ottenuto dall’effettivo studio del fenomeno in esame) appartiene ad ${\mathcal {R}}$; e la si accetta se appartiene ad ${\mathcal {A}}$.

In realtà nella pratica si presenta in generale la necessità di discriminare tra due ipotesi, sempre mutuamente esclusive, che indicheremo con i simboli $H_{0}$ ed $H_{a}$ e che, usando la terminologia della statistica, si chiamano rispettivamente ipotesi nulla ed ipotesi alternativa; i casi precedenti corrispondono al caso particolare in cui l’ipotesi alternativa coincida con il non realizzarsi di $H_{0}$.

Ipotesi nulla ed ipotesi alternativa possono essere entrambe eventi semplici, oppure composti (ossia somma logica di più eventualità semplici); e lo scopo di questo capitolo è quello di mostrare dei criteri sulla base dei quali si possa opportunamente definire nello spazio degli eventi una regione di rigetto ${\mathcal {R}}$ per l’ipotesi nulla (e, in corrispondenza, ovviamente, una regione ${\mathcal {A}}={\mathcal {S}}-{\mathcal {R}}$ nella quale tale ipotesi viene accettata).

È chiaro che si corre sempre il rischio di sbagliare: o rigettando erroneamente ipotesi in realtà vere (errori di prima specie) o accettando invece ipotesi in realtà false (errori di seconda specie); e che, allargando o restringendo la regione di rigetto, si può diminuire la probabilità di uno di questi due tipi di errori solo per aumentare la probabilità di quelli dell’altra categoria. Se indichiamo con $P_{I}$ e $P_{II}$ le probabilità degli errori di prima e seconda specie rispettivamente, sulla base della definizione risulta

$P_{I}=\Pr(E\in {\mathcal {R}}|H_{0})$

e

$P_{II}=\Pr(E\in {\mathcal {A}}|H_{a})$.

Quello che abbiamo finora chiamato “livello di confidenza” non è altro che $1-P_{I}$; $P_{I}$ viene anche indicato col simbolo $\alpha$ e chiamato significanza del criterio adottato. Infine, la probabilità di non commettere un errore di seconda specie, ovvero la probabilità di rigettare $H_{0}$ quando l’ipotesi nulla è falsa (e quindi quella alternativa è vera) si indica col simbolo $\beta$ e si chiama potenza del criterio adottato; essa vale quindi

$\beta \;=\;\Pr(E\in {\mathcal {R}}|H_{a})\;=\;1-P_{II}$.

Per fare un esempio concreto, il fisico si trova spesso ad esaminare “eventi” sperimentali e deve decidere se essi sono del tipo desiderato (segnale) o no (fondo): in questo caso l’ipotesi nulla $H_{0}$ consiste nell’appartenenza di un evento al segnale, mentre l’ipotesi alternativa $H_{a}$ corrisponde invece all’appartenenza dello stesso evento al fondo; che in genere non è l’intero insieme di eventi complementare all’ipotesi nulla, ${\bar {H}}_{0}$, ma si sa restringere ad una classe ben definita di fenomeni.

Gli errori di prima specie consistono in questo caso nello scartare eventi buoni (errori di impoverimento del segnale), e quelli di seconda specie nell’introduzione nel segnale di eventi di fondo (errori di contaminazione).