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12.3 - Compatibilità con un valore prefissato

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Se consideriamo poi un campione di $N$ misure indipendenti, avente valore medio ${\bar {x}}$ e proveniente da questa stessa popolazione di varianza $\sigma ^{2}$, è immediato capire come la variabile

$t={\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

soddisferà a queste stesse condizioni: accadrà cioè nel 31.73% dei casi che $|t|$ sia maggiore di $\tau =1$, e nel 4.55% dei casi che $|t|$ sia superiore a $\tau =2$.

Per converso, se fissiamo arbitrariamente un qualunque valore ammissibile $P$ per la probabilità, possiamo calcolare in conseguenza un numero $\tau$, tale che la probabilità di ottenere effettivamente da un particolare campione un valore dello scarto normalizzato $t$ superiore ad esso (in modulo) sia data dal numero $P$. Ad esempio, fissato un valore del 5% per $P$, il limite per $t$ che se ne ricava è $\tau =1.96$: insomma

$\int _{-1.96}^{+1.96}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}{\text{d}}t\;=\;0.95$

e solo nel cinque per cento dei casi si ottiene un valore di $t$ che supera (in modulo) 1.96.

Se si fissa per convenzione un valore della probabilità che indichi il confine tra un avvenimento accettabile ed uno inaccettabile nei limiti della pura casualità, possiamo dire che l’ipotesi consistente nell’essere un certo numero $\xi$ il valore vero della grandezza misurata sarà compatibile o incompatibile con i nostri dati a seconda che lo scarto normalizzato

$t={\frac {{\bar {x}}-\xi }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

relativo a tale numero sia, in valore assoluto, inferiore o superiore al valore di $\tau$ che a quella probabilità corrisponde; e diremo che la compatibilità (o incompatibilità) è riferita a quel certo livello di confidenza prescelto.

La difficoltà è che tutti questi ragionamenti coinvolgono una quantità numerica (lo scarto quadratico medio) relativa alla popolazione e per ciò stesso in generale ignota; in tal caso, per calcolare lo scarto normalizzato relativo ad un certo valore numerico $\xi$ non possiamo che servirci, in luogo di $\sigma$, della corrispondente stima ricavata dal campione, $s$:

$t={\frac {{\bar {x}}-\xi }{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$

e quindi si deve presupporre di avere un campione di dimensioni tali che questa stima si possa ritenere ragionevole, ossia sufficientemente vicina ai