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12.2 - Verifiche basate sulla distribuzione del χ2

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ovviamente

$n_{j}=\sum _{i=1}^{P}\nu _{ij}$	$(j=1,2,\ldots ,Q)$;
$m_{i}=\sum _{j=1}^{Q}\nu _{ij}$	$(i=1,2,\ldots ,P)$;
$N=\sum _{j=1}^{Q}n_{j}=\sum _{i=1}^{P}m_{i}=\sum _{i,j}\nu _{ij}$.

Vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale

$X=N\left[\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{m_{i}\,n_{j}}}-1\right]$

(12.14)

è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $(P-1)(Q-1)$ gradi di libertà: a questo scopo supponiamo innanzi tutto sia valida l’ipotesi che i dati provengano tutti dalla medesima popolazione, ed indichiamo con i simboli $p_{i}$ e $q_{j}$ le probabilità che un componente di tale popolazione scelto a caso cada rispettivamente nel gruppo $i$-esimo o nel campione $j$-esimo; e sappiamo inoltre che (ammessa però vera l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa distribuzione) questi due eventi sono statisticamente indipendenti: per cui ognuno dei dati ha probabilità complessiva $p_{i}q_{j}$ di cadere in una delle caselle della tabella delle contingenze.

Possiamo stimare i $P$ valori $p_{i}$ a partire dai dati sperimentali: si tratta in realtà solo di $P-1$ stime indipendenti, perché, una volta ricavate le prime $P-1$ probabilità, l’ultima di esse risulterà univocamente determinata dalla condizione che la somma complessiva valga 1. Analogamente possiamo anche stimare i $Q$ valori $q_{j}$ dai dati sperimentali, e si tratterà in questo caso di effettuare $Q-1$ stime indipendenti.

Le stime di cui abbiamo parlato sono ovviamente

$p_{i}={\frac {m_{i}}{N}}$

e

$q_{j}={\frac {n_{j}}{N}}$

(12.15)

e, applicando le conclusioni del paragrafo precedente (l’equazione (12.9)), la