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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati

Supponiamo di avere a disposizione $Q$ campioni di dati, indipendenti l’uno dall’altro e composti da $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{Q}$ elementi rispettivamente; e, all’interno di ognuno di tali campioni, i dati siano suddivisi nei medesimi $P$ gruppi: indichiamo infine col simbolo $\nu _{ij}$ il numero di dati appartenenti al gruppo $i$-esimo all’interno del campione $j$-esimo.

Per fare un esempio, i campioni si potrebbero riferire alle regioni italiane e i gruppi al livello di istruzione (licenza elementare, media, superiore, laurea): così che i $\nu _{ij}$ rappresentino il numero di persone, per ogni livello di istruzione, residenti in ogni data regione; oppure (e questo è un caso che si presenta frequentemente nelle analisi fisiche) si abbiano vari istogrammi all’interno di ognuno dei quali i dati siano stati raggruppati secondo le medesime classi di frequenza: allora i $\nu _{ij}$ saranno il numero di osservazioni che cadono in una determinata classe in ogni istogramma.

Il problema che ci poniamo è quello di verificare l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa popolazione e siano perciò compatibili tra loro (test di omogeneità). Indichiamo con il simbolo $N$ il numero totale di dati a disposizione; e con $m_{i}$ (con $i=1,\ldots ,P$) il numero totale di dati che cadono nell’$i$-esimo gruppo in tutti i campioni a disposizione.

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Tabella 12.1 - Un esempio delle cosiddette tabelle delle contingenze.

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	Campioni
Gruppi	$\nu _{11}$	$\nu _{12}$	$\nu _{13}$	$\ldots$	$\nu _{1Q}$	$m_{1}$
	$\nu _{21}$	$\nu _{22}$	$\ldots$	$\ldots$	$\nu _{2Q}$	$m_{2}$
	$\nu _{31}$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$m_{3}$
	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
	$\nu _{P1}$	$\nu _{P2}$	$\ldots$	$\ldots$	$\nu _{PQ}$	$m_{P}$
	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	$\ldots$	$n_{Q}$	$N$

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È consuetudine che dati di questo genere siano rappresentati in una tabella del tipo della 12.1, che si chiama tabella delle contingenze; e risulta