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Capitolo 11 - Stime di parametri

Per scrivere questa espressione si è fatto uso di tutte le ipotesi postulate: in particolare, il fatto che le $x_{i}$ siano misurate senza errore ci permette di affermare che il valore vero assunto in corrispondenza dalla $y$ è $a+bx_{i}$; visto che è $y=a+bx$ la legge fisica che lega le due variabili tra loro.

Questa funzione di verosimiglianza rappresenta allora la densità di probabilità collegata all’evento casuale consistente nell’essere la legge fisica che lega $x$ ad $y$ rappresentata dall’equazione $y=a+bx$, qualora si siano ottenuti gli $N$ valori misurati $(x_{i},y_{i})$, e sotto le quattro ipotesi su elencate.

I valori più verosimili del parametro saranno quelli che rendono massima ${\mathcal {L}}$: vedremo ora che la soluzione è unica; e, ancora, il teorema di Cramér-Rao ci permetterebbe di dimostrare che la stima, appunto, più verosimile (la retta che corrisponde al massimo della probabilità) è anche la stima di minima varianza (ovvero la più precisa possibile). Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri, risulta

$-2\,\ln {\mathcal {L}}\;=\;{\frac {1}{{\sigma _{y}}^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(a+bx_{i}-y_{i}\right)^{2}\;+\;2N\ln \sigma _{y}\;+\;2N\ln {\sqrt {2\pi }}$.

I valori più verosimili dei parametri $a$ e $b$ sono quelli per cui è massima ${\mathcal {L}}$, ovvero è minima $-2\ln {\mathcal {L}}$: il problema dell’interpolazione lineare dunque si riduce (se sono soddisfatte le ipotesi citate) a quello di trovare tra le infinite rette del piano quella che rende minima la funzione

$f(a,b)\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\Bigl [}\left(a+bx_{i}\right)-y_{i}{\Bigr ]}^{2}$

(essendo tutti gli altri termini indipendenti dalle due incognite $a$ e $b$).

L’interpretazione geometrica è evidente: la retta soluzione del nostro problema è (come già preannunciato) quella che rende minima la somma dei quadrati delle distanze, misurate però parallelamente all’asse $y$, dall’insieme dei punti misurati; queste “distanze” sono anche comunemente chiamate “residui”. Per trovare il valore dei coefficienti dell’equazione di tale retta, calcoliamo ora le derivate prime della funzione $f$:

${\frac {\partial f}{\partial a}}\;=\;2\sum _{i=1}^{N}\left(a+bx_{i}-y_{i}\right)\;=\;2\left(Na\;+\;b\sum _{i=1}^{N}x_{i}\;-\;\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right);$

${\frac {\partial f}{\partial b}}\;=\;2\sum _{i=1}^{N}\left(a+bx_{i}-y_{i}\right)x_{i}\;=\;2\left(a\sum _{i=1}^{N}x_{i}\;+\;b\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;-\;\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}\right).$

Imponendo che le due derivate prime siano contemporaneamente nulle,