Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/192

176

Capitolo 11 - Stime di parametri

soluzione è unica. Prendendo il logaritmo naturale di ${\mathcal {L}}$,

$-2\ln {\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x-x_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}+2\sum _{i=1}^{N}\ln \sigma _{i}+2N\ln {\sqrt {2\pi }}$

e ricordando, come prima detto, che il logaritmo naturale è una funzione monotona strettamente crescente dell’argomento, si vede che il massimo di ${\mathcal {L}}$ corrisponde al minimo di $-2\ln {\mathcal {L}}$; la determinazione del valore più verosimile di x (nel caso di errori normali) si riduce allora al problema analitico di trovare il minimo della funzione

$f(x)=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x-x_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$

(infatti nessuno degli altri termini dipende dall’incognita x). Risolviamo il problema facendo uso del calcolo infinitesimale:

${\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}=2\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x-x_{i}}{\sigma _{i}}}\right){\frac {1}{\sigma _{i}}}=2\left(x\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)$;

${\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}=2\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}>0$.

Se per brevità poniamo

$K=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$

la condizione per l’estremante di $f(x)$ si scrive

${\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}=2\left(Kx-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)=0$

e la derivata prima di f si annulla quando la variabile x assume il valore

${\bar {x}}={\frac {1}{K}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}$.

(11.7)

Il fatto che la derivata seconda sia positiva assicura poi che si tratta effettivamente di un punto di minimo; si vede come ${\bar {x}}$ sia una media pesata dei valori misurati $x_{i}$, ottenuta assegnando ad ognuno di essi peso relativo inversamente proporzionale al quadrato dell’errore rispettivo.