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Capitolo 9 - La legge di Gauss

• Come valore più verosimile per la grandezza misurata si assume ${\bar {x}}$, e come errore di questo valore $s_{\bar {x}}$; se le misure sono in numero sufficiente e non si sono commessi errori sistematici, il significato dell’errore è quello di semiampiezza dell’intervallo di confidenza centrato sulla media e avente probabilità di includere il valore vero pari al 68%.

9.8 Il teorema del limite centrale

Fino ad ora abbiamo più volte sottolineato il fatto che un preciso significato (quello statistico) dell’errore quadratico medio può essere enunciato solo se la distribuzione delle misure effettuate è quella normale.

Con riguardo alla media aritmetica delle misure, se queste seguono la legge normale e se, inoltre, sono statisticamente indipendenti tra loro, il teorema di pagina 103 ci assicura che qualunque loro combinazione lineare (ed in particolare la media aritmetica) è ancora distribuita secondo la legge normale; ed all’errore della media $\sigma _{\bar {x}}$ si può quindi attribuire lo stesso significato statistico.

Vogliamo ora ampliare questo discorso dimostrando un importantissimo teorema della statistica e discutendone le implicazioni:

Teorema (del limite centrale): siano N variabili casuali $x_{i}$, statisticamente indipendenti tra loro e provenienti da una distribuzione avente densità di probabilità ignota, della quale esistano finite sia la media $\mu$ che la varianza $\sigma ^{2}$; sotto questa ipotesi, la distribuzione della media aritmetica del campione, ${\bar {x}}$, tende asintoticamente alla distribuzione normale con media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}/N$ al crescere di N.

Dimostreremo questo teorema facendo l’ipotesi, più restrittiva, che esistano i momenti della funzione di frequenza delle $x_{i}$ di qualunque ordine k (esso può essere dimostrato, come si vede dall’enunciato, anche se esistono solamente i primi due); e partiamo dal fatto che, sotto le ipotesi su dette, la somma S delle N variabili casuali

$S=\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

ha valore medio e varianza date dalle

$E(S)=N\mu$

e

${\sigma _{S}}^{2}=N\sigma ^{2}$.