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9.5 - La curva di Gauss nella pratica

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Al tendere del numero N di misure effettuate all’infinito, risulta

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {n_{i}}{N}}$	$=\Pr \left(x_{i}-{\frac {\Delta x_{i}}{2}}\leq x<x_{i}+{\frac {\Delta x_{i}}{2}}\right)$
	$={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{x_{i}-{\frac {\Delta x_{i}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\Delta x_{i}}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x$

e dunque

$y_{i}\;\;\;{\xrightarrow[{\quad N\to \infty \quad }]{\;}}\;\;{\frac {N\,A}{\Delta x_{i}}}\,{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{x_{i}-{\frac {\Delta x_{i}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\Delta x_{i}}{2}}}\!e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x$.

Cioè l’altezza dell’istogramma, in ognuna delle classi di frequenza, tende al valore medio sull’intervallo corrispondente della funzione di Gauss moltiplicato per un fattore costante N A. Allora la curva da sovrapporre all’istogramma sperimentale deve essere quella che corrisponde alla funzione

$f(x)={\frac {NA}{s{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-{\bar {x}}}{s}}\right)^{2}}$

(in luogo del valore vero $x^{*}$ e dell’errore quadratico medio $\sigma$, generalmente ignoti, si pongono le loro stime, ${\bar {x}}$ e s rispettivamente, ottenute dal campione stesso); osserviamo che $f(x)$ sottende la stessa area N A dell’istogramma.

Se gli intervalli hanno tutti la medesima ampiezza $\Delta x$, l’area del rettangolo elementare vale $A=\Delta x$, assumendo l’arbitraria unità di misura per le ordinate pari all’altezza costante del rettangolo elementare, e la funzione diviene

$f(x)={\frac {N\,\Delta x}{s{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-{\bar {x}}}{s}}\right)^{2}}$.

Sempre per quel che riguarda le implicazioni “pratiche” della legge normale di distribuzione degli errori, un altro punto sul quale gli studenti hanno frequentemente dei dubbi riguarda l’applicazione della funzione di Gauss a grandezze misurate sì commettendo errori casuali, ma che siano per loro natura limitate. Ad esempio, una lunghezza è una grandezza fisica implicitamente non negativa: quindi la densità di probabilità associata ai particolari valori ottenibili x dovrebbe essere identicamente nulla quando $x<0$, mentre la funzione normale si annulla soltanto quando $x=\pm \infty$. Affermare che i risultati della misura seguono la legge di Gauss sembra dunque una contraddizione.

La risposta a questa obiezione è che la funzione di distribuzione della x effettivamente non può essere normale: ma che la reale differenza tra la vera funzione di distribuzione e quella di Gauss è assolutamente trascurabile.