Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/166

150

Capitolo 9 - La legge di Gauss

media ${\bar {x}}$ prossima a $x^{*}$ (sappiamo infatti che la varianza della media vale $\sigma ^{2}/N$ e tende a zero al crescere di N), e varianza $s^{2}$ prossima a $\sigma ^{2}$ (anche la varianza di $s^{2}$ tende a zero al crescere di N: vedi in proposito l’appendice B).

Per N abbastanza grande¹ si può dunque assumere $s\approx \sigma$ ed interpretare lo stesso scarto quadratico medio del campione s, in luogo di $\sigma$ (peraltro ignoto), come semiampiezza dell’intervallo di confidenza corrispondente ad una probabilità del 68%.

Purtroppo non è generalmente possibile capire, dall’andamento di un insieme di osservazioni, se fossero o meno presenti nella misura errori sistematici; un campione di misure ripetute, effettuate confrontando la lunghezza di un oggetto con un regolo graduato mal tarato, avrà distribuzione ancora normale: solo centrata attorno ad una media che non corrisponde al valore vero.

Al contrario, se la distribuzione delle misure non è normale sicuramente c’è qualcosa di sospetto nei dati che stiamo esaminando; sorge quindi il problema di stimare se un insieme di dati ha o non ha distribuzione conforme alla funzione di Gauss (o meglio, di stimare con quale livello di probabilità possa provenire da una distribuzione normale).

Per far questo si può ricorrere ad alcune proprietà matematiche della curva: ad esempio, si possono calcolare l’errore medio e l’errore quadratico medio per verificare se il loro rapporto ha un valore vicino a quello teorico; oppure si può calcolare la frazione di dati che cadono tra ${\bar {x}}-s$ e ${\bar {x}}+s$ e confrontare il numero ottenuto con il valore teorico di 0.68.

Il modo migliore di eseguire il confronto è però quello che consiste nel disegnare assieme all’istogramma dei dati anche la curva teorica relativa; a questo livello il confronto può essere soltanto visuale, ma esistono metodi matematici (metodo del chi quadro; si veda in proposito il paragrafo 12.2.1) che permettono di stimare con esattezza la probabilità che i dati di un istogramma provengano da una data distribuzione, nel nostro caso quella normale.

Per sovraimporre la curva di Gauss ad un istogramma, occorre comunque moltiplicarne in ogni punto l’ordinata per un fattore costante. L’altezza dell’istogramma è infatti in ogni intervallo data da

$y_{i}={\frac {n_{i}\,A}{\Delta x_{i}}}$

dove $n_{i}$ è il numero di valori osservati nell’intervallo di centro $x_{i}$ ed ampiezza $\Delta x_{i}$, mentre A è l’area del rettangolo corrispondente ad una osservazione.

---

1. Cosa si debba intendere esattamente per “abbastanza grande” risulterà chiaro dall’analisi dell’appendice B; normalmente si richiedono almeno 30 misure, dimensione del campione che corrisponde per s ad un errore relativo di poco superiore al 10%.