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| 9.3 - Lo scarto normalizzato | 147 |
Confrontando le due espressioni (9.4) e (9.5) (che, ricordiamo, devono assumere lo stesso valore per qualunque coppia di valori e ), si ricava immediatamente che deve essere
| (9.6) |
La cosa importante è che in questa espressione non compaiono né l’errore quadratico medio né alcuna altra grandezza dipendente dal modo in cui la misura è stata effettuata, ma solo costanti: in altre parole lo scarto normalizzato ha una distribuzione di probabilità indipendente dalla precisione della misura.
Di questa proprietà si fa uso, ad esempio, per comporre in un unico grafico campioni di misure aventi precisione diversa: se due osservatori misurano la stessa grandezza commettendo solo errori casuali, le distribuzioni delle loro misure saranno normali; ma se gli errori commessi sono diversi, raggruppando i due insiemi di osservazioni in un solo istogramma l’andamento di quest’ultimo non è gaussiano. Però gli scarti normalizzati hanno la stessa legge di distribuzione per entrambi i misuratori, indipendentemente dall’entità dei loro errori, e possono essere cumulati in un unico istogramma.
Altra conseguenza dell’indipendenza da della funzione di frequenza (9.6) di t, è che la probabilità per una misura di avere scarto normalizzato compreso tra due valori costanti prefissati risulta indipendente dalla precisione della misura stessa; ad esempio si ha
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}t\in \left[-1,+1\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.6827\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487f92ac71fbc0d13e9f21f0e039f2c30ca84a24)
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}t\in \left[-2,+2\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{+2}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.9545\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbdc2dab401c4d990aea9c1932241b99d55916f9)
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}t\in \left[-3,+3\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{+3}\!e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.9973\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31daf5cd9d3cf3c91756671c5dd7b6ccc318b157)
e, ricordando la relazione che intercorre tra z e t, questo implica che risulti anche
| . |
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}z\in \left[-\sigma ,+\sigma \right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76644e80a03560a5f6e6ba9863545bbd4c6975e)
![{\displaystyle \equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-1,+1\right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef8cbebf469657e19d4ccf530a7a0b546632965)
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}z\in \left[-2\sigma ,+2\sigma \right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b63cf8ade333a8cdd40c51e5b55a3150551ac07)
![{\displaystyle \equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-2,+2\right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73de17c00d765dcd7ad880118c10a4f0e67fdd0e)
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}z\in \left[-3\sigma ,+3\sigma \right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67a274b5c945bec5e05d822692581f2cc9bf5f1)
![{\displaystyle \equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-3,+3\right]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8ae4d483645bcbdbe84f6e5913623b0241bd89)
