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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

una funzione $y=\varphi (x)$ maggiorante della $f(x)$, ossia una funzione che risulti comunque non inferiore alla f per qualunque $x\in [x_{\min },x_{\max }]$.

Nel caso si sappia scegliere, sul piano $\{x,y\}$, un punto con distribuzione uniforme nella parte di piano limitata inferiormente dall’asse delle ascisse, superiormente dalla funzione $y=\varphi (x)$, e, lateralmente, dalle due rette di equazione $x=x_{\min }$ ed $x=x_{\max }$, basta accettare tale punto se la sua ordinata risulta non superiore alla corrispondente $f(x)$; e rigettarlo in caso contrario, iterando il procedimento fino a che la condizione precedente non è soddisfatta: le ascisse x dei punti accettati seguono la funzione di distribuzione $f(x)$.

Infatti, i punti accettati saranno distribuiti uniformemente nella parte di piano limitata dalla $y=f(x)$; quindi, in un intervallino infinitesimo centrato su una particolare x, vi sarà un numero di punti accettati proporzionale all’altezza della curva sopra di esso — ovverosia ogni ascissa x viene accettata con densità di probabilità che è proprio $f(x)$.

La scelta, infine, di un punto che sia distribuito uniformemente nella parte di piano limitata dalla funzione $y=\varphi (x)$ si sa sicuramente effettuare se $\varphi (x)$ è stata scelta in modo che si sappia invertire la sua funzione integrale

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,\mathrm {d} t$

così che si possa associare, a qualsiasi valore A compreso tra 0 e $\Phi (+\infty )$, quella $x=\Phi ^{-1}(A)$ che lascia alla propria sinistra un’area A al di sotto della funzione $y=\varphi (x)$ (una scelta banale è quella di prendere come maggiorante una retta, o meglio una spezzata — come illustrato nella figura 8b).

In tal caso basta scegliere un numero A con distribuzione uniforme tra i limiti $\Phi (x_{\min })$ e $\Phi (x_{\max })$; trovare la $x=\phi ^{-1}(A)$ che soddisfa la condizione precedente; ed infine scegliere una y con distribuzione uniforme tra 0 e $\varphi (x)$. Non è difficile rendersi conto che il punto $(x,y)$ soddisfa alla condizione richiesta di essere distribuito uniformemente nella parte del semipiano $y>0$ limitata superiormente dalla funzione $y=\varphi (x)$: a questo punto non rimane che calcolare la $f(x)$ ed accettare x se $y\leq f(x)$.

Se proprio non si è in grado di effettuare una scelta migliore, anche una retta del tipo $y={\text{cost.}}$ può andar bene; basta tener presente che l’algoritmo viene sfruttato tanto più efficacemente quanto più $y=\varphi (x)$ è vicina alla $f(x)$ (in tal caso il numero di rigetti è minore).

Per questo motivo, una scelta del tipo $\varphi (x)={\text{cost.}}$ è assolutamente da evitare se la $f(x)$ è sensibilmente diversa da zero solo in una parte ristretta dell’intervallo di definizione (perché in tal caso la scelta uniforme di x all’interno dell’area su detta ci farebbe trascorrere gran parte del tempo ad esa-