Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/112

96 Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

8.1.2 Applicazione: generazione di numeri casuali con distribuzione data

Supponiamo che la variabile casuale x abbia densità di probabilità e funzione di distribuzione : vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale è distribuita uniformemente nell’intervallo qualunque siano e . Chiaramente y può appartenere solo a tale intervallo; ed inoltre, essendo funzione integrale di , è dotata della proprietà di essere continua e derivabile in tutto l’insieme di definizione e con derivata prima data da

così che, ricordando l’equazione (6.15), la densità di probabilità della nuova variabile y è data (ove non sia nulla) dalla

come volevamo dimostrare.

Supponiamo sia nota la densità di probabilità di una qualche variabile casuale x; e che si vogliano ottenere dei numeri che si presentino secondo una legge di probabilità data appunto da questa . I moderni calcolatori numerici sono in grado di generare sequenze di numeri casuali1 che hanno distribuzione uniforme in un intervallo dipendente dall’implementazione dell’algoritmo, e che possono a loro volta essere usati per produrre numeri casuali con distribuzione uniforme nell’intervallo ; se y è uno di tali numeri, e se si è in grado di invertire, numericamente od analiticamente, la funzione di distribuzione della variabile casuale x, i numeri

hanno densità di probabilità data da , come appunto richiesto.

Generalmente le funzioni di distribuzione non si sanno invertire per via analitica; un metodo numerico spesso impiegato, e che richiede la sola preventiva conoscenza della (quindi non bisogna nemmeno saper calcolare la , per non parlare della sua inversa) è illustrato qui di seguito (metodo dei rigetti). Si faccia riferimento alla figura 8b: sia x limitata in un intervallo chiuso (nella figura, e ); e si conosca



  1. O meglio pseudo-casuali: ovverosia prodotti da un algoritmo ripetibile, quindi non propriamente “imprevedibili”; ma in modo tale che le loro proprietà statistiche siano indistinguibili da quelle di una sequenza casuale propriamente detta.