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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

8.1.2 Applicazione: generazione di numeri casuali con distribuzione data

Supponiamo che la variabile casuale x abbia densità di probabilità $f(x)$ e funzione di distribuzione $F(x)$: vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale $y=F(x)$ è distribuita uniformemente nell’intervallo $[0,1]$ qualunque siano $f(x)$ e $F(x)$. Chiaramente y può appartenere solo a tale intervallo; ed inoltre, essendo funzione integrale di $f(x)$, è dotata della proprietà di essere continua e derivabile in tutto l’insieme di definizione e con derivata prima data da

$y'=F'(x)=f(x)$

così che, ricordando l’equazione (6.15), la densità di probabilità della nuova variabile y è data (ove $f(x)$ non sia nulla) dalla

$g(y)={\frac {f(x)}{y'(x)}}={\frac {f(x)}{f(x)}}\equiv 1$

come volevamo dimostrare.

Supponiamo sia nota la densità di probabilità $f(x)$ di una qualche variabile casuale x; e che si vogliano ottenere dei numeri che si presentino secondo una legge di probabilità data appunto da questa $f(x)$. I moderni calcolatori numerici sono in grado di generare sequenze di numeri casuali¹ che hanno distribuzione uniforme in un intervallo dipendente dall’implementazione dell’algoritmo, e che possono a loro volta essere usati per produrre numeri casuali con distribuzione uniforme nell’intervallo $[0,1]$; se y è uno di tali numeri, e se si è in grado di invertire, numericamente od analiticamente, la funzione di distribuzione $F(x)$ della variabile casuale x, i numeri

$x=F^{-1}(y)$

hanno densità di probabilità data da $f(x)$, come appunto richiesto.

Generalmente le funzioni di distribuzione $F(x)$ non si sanno invertire per via analitica; un metodo numerico spesso impiegato, e che richiede la sola preventiva conoscenza della $f(x)$ (quindi non bisogna nemmeno saper calcolare la $F(x)$, per non parlare della sua inversa) è illustrato qui di seguito (metodo dei rigetti). Si faccia riferimento alla figura 8b: sia x limitata in un intervallo chiuso $[x_{\min },x_{\max }]$ (nella figura, $x_{\min }=0$ e $x_{\max }=3$); e si conosca

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1. O meglio pseudo-casuali: ovverosia prodotti da un algoritmo ripetibile, quindi non propriamente “imprevedibili”; ma in modo tale che le loro proprietà statistiche siano indistinguibili da quelle di una sequenza casuale propriamente detta.