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sulle serie a termini positivi |
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ove i logaritmi sono neperiani, e basterà perciò di studiare questa sola.
Ora per studiare questa si osservi che, essendo
una quantità
positiva, minore di 1, si ha
,
e quindi, prendendo
, si avrà
e poichè i termini di
non sono crescenti, evidentemente in
ad
potremo sostituire
, e così si troverà
Facciamo ora in questa
e supponiamo per comodo
; allora, sommando le diseguaglianze che ne risultano
e l’altra
,
si troverà
;
e quindi poichè si ha
,
ove
indica la base dei logaritmi neperiani, se ne dedurrà l’altra
(a)
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;
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e questa ci condurrà subito al teorema.
Infatti, pel caso di
negativa o nulla, si osserverà che da questa si hanno le seguenti