convenendo che
![{\displaystyle \mathrm {Log} ^{0}\alpha =\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf49857630d4c87c6b3b11c927ec3cae48f346d)
; allora servendosi del teorema precedente, ci sarà facile di dimostrare anche il seguente:
Se
è una serie divergente i cui termini non sono crescenti, la serie
ove
è un numero qualunque finito, è convergente se
è una quantità positiva e divergente se
è negativa o nulla.
Per questo si osservi prima di tutto che indicando con
i logaritmi neperiani, e con
il modulo dei Logaritmi a base
, cioè ponendo
si ha
e quindi
Se ora si sostituisce in questa
in luogo di
, evidentemente il prodotto
sarà una quantità finita e differente da zero, e che, almeno a partire da un certo valore di
, sarà positiva; quindi le condizioni di convergenza o divergenza della serie (3) saranno le stesse di quelle della serie