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sulle serie a termini positivi |
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e per questa si otterrà
Ora se
è maggiore di uno, si potrà prendere
, e si avrà allora
; e quindi la serie
sarà convergente.
Se poi si ha
, allora, prendendo
, si troverà
e quindi
, e a fortiori
per
, sarà divergente.
Il teorema dunque è dimostrato.
7. Per il teorema precedente se si pone
si può dire evidentemente che:
Se
è una serie divergente, le serie
sono convergenti se
è positivo, e divergenti se
è negativo o nullo; e da questo risulta che il prodotto
, quantunque composto di fattori che crescono indefinitamente con
, pure, rispetto ad
o ad
, non diviene infinito che di un ordine minore di qualunque quantità finita, per quanto grande sia il numero finito
dei suoi fattori.
8. Indichiamo con la caratteristica
i logaritmi in un sistema la cui base
è maggiore dell’unità, e con
l’espressione