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sulle serie a termini positivi |
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e negativi, e sono continuamente e indefinitamente decrescenti è sempre convergente.
Osserviamo perciò che questa serie può scriversi , e così ha i termini positivi. Se ora si prende , si trova subito
e quindi la serie è convergente.
4. Dimostriamo adesso il teorema seguente:
Se sono quantità positive che decrescono continuamente e indefinitamente la serie
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(1)
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è sempre divergente.
Si prenda infatti ; si troverà
,
e quindi la serie sarà divergente.
Es. Si prenda , la serie (1) diviene la ; e questa è divergente.
Si prenda ancora ; la (1) diverrà
e se ne concluderà che questa serie è divergente.
5. Se la serie è convergente, la serie sarà divergente.