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sulle serie a termini positivi |
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e se
![{\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{\psi (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7361025ecc82839d3b614ba25586de1549a275c0)
non tende verso l’infinito, e
![{\displaystyle {\frac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976e3b1fdbbbc60e0e7dbe632eceee77252678a9)
non tende verso l’unità si potrà sempre prendere per
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
un valore finito e differente da zero che soddisfi a quest’ultima condizione e quindi anche alla (2).
Ora dalla (2), cangiandovi
in
e sommando, si ottiene
e se ne conclude che se la serie
è convergente lo è pure la
, e se la serie
è divergente lo è pure la
. Il teorema dunque è dimostrato.
Dal teorema precedente si deduce in particolare il seguente: Se
è una serie a termini positivi e decrescenti, e se
è una funzione positiva di
che ha valori interi pei valori interi di
, che cresce indefinitamente con
, ed è tale che il rapporto
abbia un limite finito o maggiore dell’unità, le due serie
e
saranno convergenti o divergenti insieme.
Prendendo in particolare
, ove
è un numero intero positivo maggiore dell’unità, si ha il teorema di Cauchy, vale a dire si ha che: Se
è una serie che ha i suoi termini positivi e decrescenti le due serie
ove
è un numero intero positivo maggiore dell’unità, sono convergenti o divergenti insieme.
È con questo teorema che si fa vedere ordinariamente la convergenza o divergenza delle serie logaritmiche
che noi studiammo in altro modo al num. 9.