giacchè, se poniamo in questa in luogo delle
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
del secondo membro la quantità maggiore
![{\displaystyle u_{\psi (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb3ffa5a1106c1fe7658b28e93a1f1aab123a52)
, si vede che onde sia soddisfatta questa diseguaglianza basta che lo sia l’altra
e quindi basta prendere
ovvero
e se
non ha per limite zero, e
non ha per limite l’infinito si potrà evidentemente sempre prendere per
un valore finito e differente da zero tale che quest’ultima diseguaglianza e quindi anche la (1) resti soddisfatta qualunque sia
.
Ciò posto, si cangi nella (1)
in
e si sommi; si otterrà
e se ne concluderà che se la serie
è convergente lo sarà pure la serie
, e se la
è divergente lo sarà pure la
.
Così una parte del teorema è già dimostrata. Per dimostrare ora l’altra parte, osserviamo che esisterà sempre un valore finito e differente da zero
tale che si abbia
(2)
![{\displaystyle \varphi (n)u_{\psi (n)}<b\{u_{\psi (n-1)+1}+u_{\psi (n-1)+2}+\cdots +u_{\psi (n)}\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61560c81db65306e149838d5e91ced19df1fc2b)
poichè basterà per questo che si abbia
e quindi basterà prendere