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sulle serie a termini positivi

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Esempio: Si consideri la serie

$\sum u_{n}=\sum {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+k_{n})(a_{1}+1)(a_{2}+2)\cdots (a_{n}+n)}},$

ove le $k_{n}$ ed $a_{n}$ sono funzioni finite di $n$: si avrà per essa

${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}={\frac {(a_{n+1}+n+1)(n+1+k_{n+1})}{(n+1)(n+k_{n})}}=$

$={\frac {n^{2}+(k_{n+1}+a_{n+1}+2)n+(a_{n+1}+1)(k_{n+1}+1)}{n^{2}+(k_{n}+1)n+k_{n}}},$

e quindi, seguendo le notazioni precedenti, sarà

$a_{1}-b_{1}=1+k_{n+1}-k_{n}+a_{n+1};$

e se $k_{n}$ è una funzione finita e determinata, si avrà

$\lim(a_{1}-b_{1})=1+\lim a_{n+1};$

e perciò la serie in questione sarà convergente se ${\rm {a_{n}}}$ è una funzione finita e sempre positiva di ${\rm {n}}$, e sarà divergente quando ${\rm {a_{n}}}$ è sempre negativa, e anche quando ${\rm {a_{n}}}$ tende a zero purchè in questo caso l’espressione ${\rm {k_{n+1}-k_{n}+a_{n+1}}}$, tendendo a zero, divenga infinitesima di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{\rm {n}}}$.

Prendendo $k_{n}=k=\mathrm {cost.}$, $a_{n}=a=\mathrm {cost.}$, si ha con Gauss, che la serie

$\sum {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+k)(a+1)(a+2)\cdots (a+n)}}$

è convergente se $a$ è positiva, divergente negli altri casi.

Prendendo

$k_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{\log n}},\quad a_{n}={\frac {\log \left(1+{\dfrac {1}{n-1}}\right)}{\log(n-1)\log n}}={\frac {1}{\log(n-1)}}-{\frac {1}{\log n}},$