Prendendo infatti, per la serie
, la serie
, si ha
e di qui si vede intanto che
è convergente o divergente secondo che
.
Nel caso poi di
, si vede subito, pel teorema precedente, che
è ancora divergente, giacchè in questo caso
tende a zero ed è impossibile trovare una serie divergente
tale che
, poichè dalla espressione di
si vede che, onde si avesse
,
dovrebbe divenire infinita almeno del primo ordine rispetto ad
, e allora la serie
verrebbe convergente poichè le serie
sono tutte convergenti qualunque sia la costante positiva
.
27. Notiamo che al modo stesso si vede anche che: La serie
nella quale si ha
ove gli esponenti sono costanti e in ordine decrescente, e i coefficienti
e
sono funzioni di
che non crescono indefinitamente con
, sarà convergente o divergente secondochè
e sarà divergente anche quando
purchè
col crescere indefinitamente di
divenga infinitesimo di ordine finito rispetto ad
.