e in questi casi, per poter decidere se le serie corrispondenti sono convergenti, o no, bisognerà cangiare la funzione
![{\displaystyle \varphi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067864064667dd5f8b2508b9cbf983d89788629)
o applicare altri criteri.
Fermiamoci in particolare sul caso in cui si voglia cangiare la funzione
. Le considerazioni fatte al num. 22 ci mostrano subito che se, servendosi della serie divergente
, si è trovato
la serie divergente
che converrà prendere perchè il criterio del n. 19 riesca decisivo (e che certo dovrà esistere) dovrà essere tale che
cresca indefinitamente con
; e quindi si può dire che: scelta una serie divergente
, se applicando con essa il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di un’altra serie
, si troverà il caso dubbio, allora, per potere decidere, converrà prendere invece della serie
un’altra serie ancora divergente
i cui termini tendano a divenire infinitamente piccoli rispetto a quelli di
.
È così che quando non serva il criterio
bisognerà passare ad un altro
nel quale
cresca indefinitamente con
, e sia tale che la serie
sia divergente. Passando allora ad un
ognor più crescente, il criterio finirà per venire decisivo, e le funzioni
le più appropriate saranno successivamente quelle funzioni
e le altre
che deducemmo al num. 6 da una stessa serie divergente rappresentata ivi con
.