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sulle serie a termini positivi |
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Se si pone infatti
si avrà per la serie
ovvero
e di qui si vede che
è difatti positiva, e se
si ha evidentemente
. Se poi
, per es.
, si ha ancora
e
giacchè
cresce indefinitamente con
, e
non tende a zero.
Da ciò risulta quanto avevamo enunciato1.
24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente
l’applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune
serie; ma per altre si troverà
- ↑ Il teorema dimostrato è analogo a quello che fu dato da Abel che ci dice che: non esiste una funzione
tale che la serie
sia necessariamente convergente se
, e divergente se
è diverso da zero. Questo, come è noto, si dimostra osservando che, ammesso che questa funzione
esistesse, siccome per la serie
si ha
, così
dovrebbe esser tale che questa serie fosse divergente. Ma allora la serie
sarebbe pure divergente e non ostante per questa si avrebbe
ciò che è contro l’ipotesi.