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sulle serie a termini positivi

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Se si pone infatti

$\sigma _{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n},$

si avrà per la serie $V'$

$h_{n}=\varphi (n){\frac {v'_{n}}{v'_{n+1}}}-\varphi (n+1)=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}\left({\frac {\sigma _{n+1}}{\sigma _{n}}}\right)^{\mu }-\varphi (n+1),$

ovvero

$h_{n}=\varphi (n+1)\left(1+{\frac {1}{\sigma _{n}\varphi (n+1)}}\right)^{\mu }-\varphi (n+1),$

e di qui si vede che $h_{n}$ è difatti positiva, e se $\mu \leq 1$ si ha evidentemente $\lim h_{n}=0$. Se poi $\mu >1$, per es. $\mu =2$, si ha ancora

$h_{n}={\frac {2}{\sigma _{n}}}+{\frac {1}{\varphi (n+1)\sigma _{n}^{2}}},\quad$ e $\quad \lim h_{n}=0,$

giacchè $\sigma _{n}$ cresce indefinitamente con $n$, e $\varphi (n)$ non tende a zero.

Da ciò risulta quanto avevamo enunciato¹.

24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}},$ l’applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune serie; ma per altre si troverà

$\lim h_{n}=0,$

1. Il teorema dimostrato è analogo a quello che fu dato da Abel che ci dice che: non esiste una funzione $\varphi ({\rm {n)}}$ tale che la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sia necessariamente convergente se $\lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}$, e divergente se $\lim \varphi ({\rm {n){\rm {u_{n}}}}}$ è diverso da zero. Questo, come è noto, si dimostra osservando che, ammesso che questa funzione $\varphi (n)$ esistesse, siccome per la serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ si ha $\varphi (n)v_{n}=1$, così $\varphi (n)$ dovrebbe esser tale che questa serie fosse divergente. Ma allora la serie $\sum v'_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}}}$ sarebbe pure divergente e non ostante per questa si avrebbe

   $\varphi (n)v'_{n}={\frac {1}{\sigma _{n}}},\quad \lim \varphi (n)v'_{n}=0;$

   
   ciò che è contro l’ipotesi.