poichè la serie
![{\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a421f77513349703b463acc906717ebc0e86d4)
è divergente: per questa dalla (7) si avrà
e quindi, se
ha, come si è supposto un limite finito, la serie
, con
decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà
.
2º
Caso:
differente da zero e finito. In questo caso, applicando il criterio del num. 19 alla serie
![{\displaystyle \sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd67e7f6fd97fb3b7e4dd61fd2faaa6f6ca11d2)
e servendosi per questo della
![{\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a421f77513349703b463acc906717ebc0e86d4)
, si vede che si dovrà avere (num. 19)
giacchè la serie
è divergente e
ha un limite finito.
Dunque, poichè
è sempre finito, si avrà anche
e perciò dalla (7) risulterà ancora
e quindi
avrà un limite finito e diverso da zero come
, e la serie
servirà appunto come la
.
3º
Caso:
crescente indefinitamente con
.
In questo caso dalla (7) si vede subito che, se
ha un limite differente da zero e negativo,
avrà per limite l’infinito negativo; e se
ha un limite differente da zero e positivo,
avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie
è divergente, si avrà per essa