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sulle serie a termini positivi

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prendendo una volta $z={\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n+1}}}$, e un’altra $z={\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n}}}$ si deducono le due diseguaglianze

$\log \beta _{n+1}-\log \beta _{n}<{\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n+1}}},$

$\log \beta _{n+1}-\log \beta _{n}>{\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n}}};$

quindi, supponendo $\beta _{n}=\log ^{p-1}n$, per la prima di queste si avrà

${\begin{aligned}A_{n}&>(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-3}(n+1)\log ^{p-2}(n+1)\{\log ^{p-1}(n+1)-\log ^{p-1}n\}\\\\&>(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-3}(n+1)\{\log ^{p-2}(n+1)-\log ^{p-2}n\}\\&>\;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\\&>1;\end{aligned}}$

e per la seconda

${\begin{aligned}A_{n}&<(n+1)\log(n+1)\cdots {\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}\{\log ^{p-1}(n+1)-\log ^{p-1}n\}\\\\&<(n+1)\log(n+1)\cdots {\frac {\log ^{p-2}(n+1)}{\log ^{p-2}n}}{\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}\{\log ^{p-2}(n+1)-\log ^{p-2}n\}\\&<\;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\\&<{\frac {n+1}{n}}{\frac {\log(n+1)}{\log n}}{\frac {\log ^{2}(n+1)}{\log ^{2}n}}\cdots {\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}.\end{aligned}}$

E poichè quest’ultima espressione è composta di un numero finito di fattori che tendono all’unità, essa pure tenderà all’unità, e quindi si avrà evidentemente $\lim A_{n}=1$, e per la (6) se ne dedurrà

$\lim h_{n}^{(p+1)}=\lim \left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$

ove $p$ può avere i valori $1,2,3\ldots$

Questi risultati ci fanno evidentemente concludere che: Ponendo

${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha ,$

${\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{p},$