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ulisse dini

21. Il criterio che ora abbiamo dato può trasformarsi facilmente in un altro nel modo seguente. Osserviamo che ponendo

${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{0},$

si ha per $h'_{n}$

$h'_{n}=n\alpha _{0}-1.$

In generale poi per $h_{n}^{(p+1)}$ si ha (supponendo per semplicità che i logaritmi siano neperiani)

$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)\cdot$

$\cdot \left\{{\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}\log ^{p}n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\log ^{p}(n+1)\right\},$

e ponendo

${\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{p},$

si avrà

$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots$

$\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\alpha _{p}\log ^{p}n+\log ^{p}n-\log ^{p}(n+1)\},$

ovvero

$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots$

$\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n\}\left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$

o anche

(6)

$h_{n}^{(p+1)}=A_{n}\left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$

ponendo per abbreviare

$A_{n}=(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n\}.$

Ma dalla formola ($0<z<1$)

$\log \left({\frac {1}{1-z}}\right)>z>\log(1+z),$