e quindi, quando
![{\displaystyle F(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15eed45079a46ea02630c05f701f5a14148efca)
sia sempre positiva, siccome
![{\displaystyle R_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a51eb87e8de827a6df940f756f9ab254cb336b)
è pure positiva, si avrà necessariamente
,
e la serie
sarà convergente.
Ora, evidentemente
, col crescere di
, si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di
sino all'infinito si avrà
,
ovvero
,
poichè
è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie
sarà convergente tutte le volte che l'espressione
,
per
, avrà un limite differente da zero.
Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie
potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché
è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione
non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga
,
tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per
e si cangi
in
e si sommi; si troverà
,
ovvero
Ora, siccome
tende a zero col crescere di
, così i rapporti