Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/2

30

ulisse dini

e quindi, quando $F(n)$ sia sempre positiva, siccome $R_{n}$ è pure positiva, si avrà necessariamente

$\lim\{F(n)+F(n+1)+\cdots \}=0,\quad \lim R_{n}=0$,

e la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente.

Ora, evidentemente $F(n)$, col crescere di $n$, si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di $n$ sino all'infinito si avrà

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>a$,

ovvero

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>0$,

poichè $a$ è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente tutte le volte che l'espressione

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$,

per $n=\infty$, avrà un limite differente da zero.

Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie $\sum u_{n}$ potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché $k_{n}$ è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione ${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$ non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga

$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$,

$h_{n}$ tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per $u_{n+1}$ e si cangi $n$ in $n+1,n+2,\ldots$ e si sommi; si troverà

$h_{n}u_{n+1}+h_{n+1}u_{n+2}+\cdots =k_{n}$,

ovvero

${\frac {k_{n}}{h_{n}}}=u_{n+1}+{\frac {h_{n+1}}{h_{n}}}u_{n+2}+{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}}u_{n+3}+\cdots$

Ora, siccome $h_{n}$ tende a zero col crescere di $n$, così i rapporti