|
sulle serie a termini positivi |
43 |
ovvero
da cui
o anche
e quindi, poichè la serie
è convergente, anche
sarà convergente.
Per dimostrare il teorema per una
qualunque, osserveremo che se
è positivo e non tende a zero indicando con
una quantità positiva sufficientemente piccola a partire da un certo valore di
sino all’infinito, si avrà
ovvero
e quindi
da cui
che mostra appunto che
è convergente, poichè la serie (3) è convergente per
, qualunque sia
.
Il teorema è così completamente dimostrato.
Notiamo che la parte di questo teorema relativa alla divergenza di
avrebbe potuto dimostrarsi anche in modo analogo a quello che ci ha servito pel caso della convergenza.
13. Prendendo nel teorema del numero precedente
, si ottengono i teoremi di Bertrand; cioè si ha che: Ponendo