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sulle serie a termini positivi |
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10. Se
è una funzione positiva di
tale che la serie
sia divergente, e se
è una serie convergente, si avrà necessariamente
Si ponga infatti
e si prenda nel criterio del numero 1
si avrà
e quindi
e poichè se
è convergente si deve avere
, d’altronde
, se ne conclude appunto che dovrà essere
Questa condizione
è dunque una condizione necessaria per la convergenza di una serie
, e noi vediamo perciò in particolare, pel teorema del numero 9, che: Se
è una serie convergente si avrà necessariamente
e quindi, se per una serie
si troverà che queste condizioni non sono soddisfatte si potrà subito affermare che la serie
è divergente.
11. Se
è una funzione positiva di
tale che la serie
sia convergente, la serie
sarà pure convergente se
non è infinito1.
- ↑ Questo teorema e il precedente sono facilissimi a dimostrarsi anche per altra via. Dandoli qui, io ho creduto bene di dedurli dal teorema del numero 1.